Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57217 / 89985
↖ ↑ ↗
← S 55.579897°
W 22.848816°		 ← 172.64 m → S 55.579897°
W 22.846069°		 →
↑
172.65 m
↓
↑
172.65 m
↓
S 55.581450°
W 22.848816°		 ← 172.64 m →
29 807 m²		 S 55.581450°
W 22.846069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436534881591797 y=0.686534881591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436534881591797 × 217)
    floor (0.436534881591797 × 131072)
    floor (57217.5)     		tx = 57217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686534881591797 × 217)
    floor (0.686534881591797 × 131072)
    floor (89985.5)     		ty = 89985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57217 / 89985 ti = "17/57217/89985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57217/89985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57217 ÷ 217
    57217 ÷ 131072     		x = 0.436531066894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89985 ÷ 217
    89985 ÷ 131072     		y = 0.686531066894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436531066894531 × 2 - 1) × π
    -0.126937866210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.39878707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686531066894531 × 2 - 1) × π
    -0.373062133789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.17200925881075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39878707} λ = -0.39878707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17200925881075))-π/2
    2×atan(0.309743959829238)-π/2
    2×0.30037206114885-π/2
    0.6007441222977-1.57079632675     		φ = -0.97005220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39878707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.848816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97005220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.579897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57217 KachelY 89985 -0.39878707 -0.97005220 -22.848816 -55.579897
    Oben rechts KachelX + 1 57218 KachelY 89985 -0.39873913 -0.97005220 -22.846069 -55.579897
    Unten links KachelX 57217 KachelY + 1 89986 -0.39878707 -0.97007930 -22.848816 -55.581450
    Unten rechts KachelX + 1 57218 KachelY + 1 89986 -0.39873913 -0.97007930 -22.846069 -55.581450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97005220--0.97007930) × R
    2.70999999999466e-05 × 6371000     		dl = 172.65409999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97005220--0.97007930) × R
    2.70999999999466e-05 × 6371000     		dr = 172.65409999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39878707--0.39873913) × cos(-0.97005220) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565256471355962 × 6371000     		do = 172.64387605377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39878707--0.39873913) × cos(-0.97007930) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565234115945915 × 6371000     		du = 172.637048136114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97005220)-sin(-0.97007930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565256471355962-0.565234115945915)×R²
    abs(-0.39873913--0.39878707)×2.23554100473589e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23554100473589e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23554100473589e-05×40589641000000     		ar = 29807.0836082771m²