Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57216 / 90480
↖ ↑ ↗
← S 56.340901°
W 22.851562°		 ← 169.25 m → S 56.340901°
W 22.848816°		 →
↑
169.28 m
↓
↑
169.28 m
↓
S 56.342424°
W 22.851562°		 ← 169.24 m →
28 649 m²		 S 56.342424°
W 22.848816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436527252197266 y=0.690311431884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436527252197266 × 217)
    floor (0.436527252197266 × 131072)
    floor (57216.5)     		tx = 57216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690311431884766 × 217)
    floor (0.690311431884766 × 131072)
    floor (90480.5)     		ty = 90480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57216 / 90480 ti = "17/57216/90480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57216/90480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57216 ÷ 217
    57216 ÷ 131072     		x = 0.4365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90480 ÷ 217
    90480 ÷ 131072     		y = 0.6903076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4365234375 × 2 - 1) × π
    -0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6903076171875 × 2 - 1) × π
    -0.380615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19573802412268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39883500} λ = -0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19573802412268))-π/2
    2×atan(0.302480633779984)-π/2
    2×0.293731048629863-π/2
    0.587462097259727-1.57079632675     		φ = -0.98333423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98333423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.340901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57216 KachelY 90480 -0.39883500 -0.98333423 -22.851562 -56.340901
    Oben rechts KachelX + 1 57217 KachelY 90480 -0.39878707 -0.98333423 -22.848816 -56.340901
    Unten links KachelX 57216 KachelY + 1 90481 -0.39883500 -0.98336080 -22.851562 -56.342424
    Unten rechts KachelX + 1 57217 KachelY + 1 90481 -0.39878707 -0.98336080 -22.848816 -56.342424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98333423--0.98336080) × R
    2.6570000000059e-05 × 6371000     		dl = 169.277470000376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98333423--0.98336080) × R
    2.6570000000059e-05 × 6371000     		dr = 169.277470000376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39883500--0.39878707) × cos(-0.98333423) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.554250386417326 × 6371000     		do = 169.247023124587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39883500--0.39878707) × cos(-0.98336080) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.554228270682401 × 6371000     		du = 169.240269818875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98333423)-sin(-0.98336080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554250386417326-0.554228270682401)×R²
    abs(-0.39878707--0.39883500)×2.21157349250545e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.21157349250545e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.21157349250545e-05×40589641000000     		ar = 28649.1362898533m²