Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57216 / 89984
↖ ↑ ↗
← S 55.578345°
W 22.851562°		 ← 172.61 m → S 55.578345°
W 22.848816°		 →
↑
172.59 m
↓
↑
172.59 m
↓
S 55.579897°
W 22.851562°		 ← 172.61 m →
29 791 m²		 S 55.579897°
W 22.848816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436527252197266 y=0.686527252197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436527252197266 × 217)
    floor (0.436527252197266 × 131072)
    floor (57216.5)     		tx = 57216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686527252197266 × 217)
    floor (0.686527252197266 × 131072)
    floor (89984.5)     		ty = 89984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57216 / 89984 ti = "17/57216/89984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57216/89984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57216 ÷ 217
    57216 ÷ 131072     		x = 0.4365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89984 ÷ 217
    89984 ÷ 131072     		y = 0.6865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4365234375 × 2 - 1) × π
    -0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6865234375 × 2 - 1) × π
    -0.373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17196132191113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39883500} λ = -0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17196132191113))-π/2
    2×atan(0.309758808350242)-π/2
    2×0.300385609738003-π/2
    0.600771219476006-1.57079632675     		φ = -0.97002511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97002511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.578345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57216 KachelY 89984 -0.39883500 -0.97002511 -22.851562 -55.578345
    Oben rechts KachelX + 1 57217 KachelY 89984 -0.39878707 -0.97002511 -22.848816 -55.578345
    Unten links KachelX 57216 KachelY + 1 89985 -0.39883500 -0.97005220 -22.851562 -55.579897
    Unten rechts KachelX + 1 57217 KachelY + 1 89985 -0.39878707 -0.97005220 -22.848816 -55.579897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97002511--0.97005220) × R
    2.70900000000074e-05 × 6371000     		dl = 172.590390000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97002511--0.97005220) × R
    2.70900000000074e-05 × 6371000     		dr = 172.590390000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39883500--0.39878707) × cos(-0.97002511) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.56527881810188 × 6371000     		do = 172.614687411497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39883500--0.39878707) × cos(-0.97005220) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.565256471355962 × 6371000     		du = 172.607863563799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97002511)-sin(-0.97005220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56527881810188-0.565256471355962)×R²
    abs(-0.39878707--0.39883500)×2.2346745918167e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.2346745918167e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.2346745918167e-05×40589641000000     		ar = 29791.047356603m²