Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57210 / 88898
↖ ↑ ↗
← S 53.855767°
W 22.868042°		 ← 180.15 m → S 53.855767°
W 22.865295°		 →
↑
180.11 m
↓
↑
180.11 m
↓
S 53.857386°
W 22.868042°		 ← 180.14 m →
32 445 m²		 S 53.857386°
W 22.865295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436481475830078 y=0.678241729736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436481475830078 × 217)
    floor (0.436481475830078 × 131072)
    floor (57210.5)     		tx = 57210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678241729736328 × 217)
    floor (0.678241729736328 × 131072)
    floor (88898.5)     		ty = 88898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57210 / 88898 ti = "17/57210/88898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57210/88898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57210 ÷ 217
    57210 ÷ 131072     		x = 0.436477661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88898 ÷ 217
    88898 ÷ 131072     		y = 0.678237915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436477661132812 × 2 - 1) × π
    -0.127044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39912263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678237915039062 × 2 - 1) × π
    -0.356475830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.11990184892375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39912263} λ = -0.39912263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11990184892375))-π/2
    2×atan(0.326311820907721)-π/2
    2×0.315417938324148-π/2
    0.630835876648296-1.57079632675     		φ = -0.93996045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39912263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.868042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93996045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.855767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57210 KachelY 88898 -0.39912263 -0.93996045 -22.868042 -53.855767
    Oben rechts KachelX + 1 57211 KachelY 88898 -0.39907469 -0.93996045 -22.865295 -53.855767
    Unten links KachelX 57210 KachelY + 1 88899 -0.39912263 -0.93998872 -22.868042 -53.857386
    Unten rechts KachelX + 1 57211 KachelY + 1 88899 -0.39907469 -0.93998872 -22.865295 -53.857386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93996045--0.93998872) × R
    2.82700000000524e-05 × 6371000     		dl = 180.108170000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93996045--0.93998872) × R
    2.82700000000524e-05 × 6371000     		dr = 180.108170000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39912263--0.39907469) × cos(-0.93996045) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.589819963492687 × 6371000     		do = 180.146198816409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39912263--0.39907469) × cos(-0.93998872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.589797134248949 × 6371000     		du = 180.139226177746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93996045)-sin(-0.93998872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589819963492687-0.589797134248949)×R²
    abs(-0.39907469--0.39912263)×2.28292437383093e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28292437383093e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28292437383093e-05×40589641000000     		ar = 32445.1742890377m²