Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57200 / 88943
↖ ↑ ↗
← S 53.928603°
W 22.895508°		 ← 179.83 m → S 53.928603°
W 22.892761°		 →
↑
179.79 m
↓
↑
179.79 m
↓
S 53.930220°
W 22.895508°		 ← 179.83 m →
32 331 m²		 S 53.930220°
W 22.892761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436405181884766 y=0.678585052490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436405181884766 × 217)
    floor (0.436405181884766 × 131072)
    floor (57200.5)     		tx = 57200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678585052490234 × 217)
    floor (0.678585052490234 × 131072)
    floor (88943.5)     		ty = 88943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57200 / 88943 ti = "17/57200/88943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57200/88943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57200 ÷ 217
    57200 ÷ 131072     		x = 0.4364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88943 ÷ 217
    88943 ÷ 131072     		y = 0.678581237792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.127197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39960200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678581237792969 × 2 - 1) × π
    -0.357162475585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.12205900940665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39960200} λ = -0.39960200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12205900940665))-π/2
    2×atan(0.325608672617074)-π/2
    2×0.314782324112079-π/2
    0.629564648224158-1.57079632675     		φ = -0.94123168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39960200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.895508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94123168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.928603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57200 KachelY 88943 -0.39960200 -0.94123168 -22.895508 -53.928603
    Oben rechts KachelX + 1 57201 KachelY 88943 -0.39955406 -0.94123168 -22.892761 -53.928603
    Unten links KachelX 57200 KachelY + 1 88944 -0.39960200 -0.94125990 -22.895508 -53.930220
    Unten rechts KachelX + 1 57201 KachelY + 1 88944 -0.39955406 -0.94125990 -22.892761 -53.930220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94123168--0.94125990) × R
    2.82200000000232e-05 × 6371000     		dl = 179.789620000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94123168--0.94125990) × R
    2.82200000000232e-05 × 6371000     		dr = 179.789620000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39960200--0.39955406) × cos(-0.94123168) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.588792924756813 × 6371000     		do = 179.832514750704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39960200--0.39955406) × cos(-0.94125990) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.588770114750208 × 6371000     		du = 179.825547987558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94123168)-sin(-0.94125990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588792924756813-0.588770114750208)×R²
    abs(-0.39955406--0.39960200)×2.28100066049786e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28100066049786e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28100066049786e-05×40589641000000     		ar = 32331.3932170884m²