Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57190 / 89958
↖ ↑ ↗
← S 55.537956°
W 22.922973°		 ← 172.79 m → S 55.537956°
W 22.920227°		 →
↑
172.85 m
↓
↑
172.85 m
↓
S 55.539511°
W 22.922973°		 ← 172.79 m →
29 866 m²		 S 55.539511°
W 22.920227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436328887939453 y=0.686328887939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436328887939453 × 217)
    floor (0.436328887939453 × 131072)
    floor (57190.5)     		tx = 57190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686328887939453 × 217)
    floor (0.686328887939453 × 131072)
    floor (89958.5)     		ty = 89958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57190 / 89958 ti = "17/57190/89958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57190/89958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57190 ÷ 217
    57190 ÷ 131072     		x = 0.436325073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89958 ÷ 217
    89958 ÷ 131072     		y = 0.686325073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436325073242188 × 2 - 1) × π
    -0.127349853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40008136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686325073242188 × 2 - 1) × π
    -0.372650146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17071496252101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40008136} λ = -0.40008136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17071496252101))-π/2
    2×atan(0.310145119841171)-π/2
    2×0.300738061142135-π/2
    0.60147612228427-1.57079632675     		φ = -0.96932020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40008136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.922973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96932020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.537956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57190 KachelY 89958 -0.40008136 -0.96932020 -22.922973 -55.537956
    Oben rechts KachelX + 1 57191 KachelY 89958 -0.40003343 -0.96932020 -22.920227 -55.537956
    Unten links KachelX 57190 KachelY + 1 89959 -0.40008136 -0.96934733 -22.922973 -55.539511
    Unten rechts KachelX + 1 57191 KachelY + 1 89959 -0.40003343 -0.96934733 -22.920227 -55.539511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96932020--0.96934733) × R
    2.71299999999863e-05 × 6371000     		dl = 172.845229999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96932020--0.96934733) × R
    2.71299999999863e-05 × 6371000     		dr = 172.845229999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40008136--0.40003343) × cos(-0.96932020) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.565860157804714 × 6371000     		do = 172.792206483274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40008136--0.40003343) × cos(-0.96934733) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.565837788878042 × 6371000     		du = 172.785375862416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96932020)-sin(-0.96934733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565860157804714-0.565837788878042)×R²
    abs(-0.40003343--0.40008136)×2.23689266724003e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.23689266724003e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.23689266724003e-05×40589641000000     		ar = 29865.7183534224m²