Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57187 / 89956
↖ ↑ ↗
← S 55.534848°
W 22.931213°		 ← 172.81 m → S 55.534848°
W 22.928467°		 →
↑
172.85 m
↓
↑
172.85 m
↓
S 55.536403°
W 22.931213°		 ← 172.80 m →
29 868 m²		 S 55.536403°
W 22.928467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436305999755859 y=0.686313629150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436305999755859 × 217)
    floor (0.436305999755859 × 131072)
    floor (57187.5)     		tx = 57187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686313629150391 × 217)
    floor (0.686313629150391 × 131072)
    floor (89956.5)     		ty = 89956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57187 / 89956 ti = "17/57187/89956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57187/89956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57187 ÷ 217
    57187 ÷ 131072     		x = 0.436302185058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89956 ÷ 217
    89956 ÷ 131072     		y = 0.686309814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436302185058594 × 2 - 1) × π
    -0.127395629882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.40022517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686309814453125 × 2 - 1) × π
    -0.37261962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17061908872177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40022517} λ = -0.40022517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17061908872177))-π/2
    2×atan(0.310174856057565)-π/2
    2×0.300765187795668-π/2
    0.601530375591335-1.57079632675     		φ = -0.96926595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40022517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.931213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96926595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.534848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57187 KachelY 89956 -0.40022517 -0.96926595 -22.931213 -55.534848
    Oben rechts KachelX + 1 57188 KachelY 89956 -0.40017724 -0.96926595 -22.928467 -55.534848
    Unten links KachelX 57187 KachelY + 1 89957 -0.40022517 -0.96929308 -22.931213 -55.536403
    Unten rechts KachelX + 1 57188 KachelY + 1 89957 -0.40017724 -0.96929308 -22.928467 -55.536403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96926595--0.96929308) × R
    2.71299999999863e-05 × 6371000     		dl = 172.845229999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96926595--0.96929308) × R
    2.71299999999863e-05 × 6371000     		dr = 172.845229999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40022517--0.40017724) × cos(-0.96926595) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.565904886163855 × 6371000     		do = 172.80586482602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40022517--0.40017724) × cos(-0.96929308) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.565882518070034 × 6371000     		du = 172.799034459483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96926595)-sin(-0.96929308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565904886163855-0.565882518070034)×R²
    abs(-0.40017724--0.40022517)×2.2368093821501e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2368093821501e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2368093821501e-05×40589641000000     		ar = 29868.0791549318m²