Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57185 / 89955
↖ ↑ ↗
← S 55.533294°
W 22.936707°		 ← 172.85 m → S 55.533294°
W 22.933960°		 →
↑
172.85 m
↓
↑
172.85 m
↓
S 55.534848°
W 22.936707°		 ← 172.84 m →
29 875 m²		 S 55.534848°
W 22.933960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436290740966797 y=0.686305999755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436290740966797 × 217)
    floor (0.436290740966797 × 131072)
    floor (57185.5)     		tx = 57185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686305999755859 × 217)
    floor (0.686305999755859 × 131072)
    floor (89955.5)     		ty = 89955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57185 / 89955 ti = "17/57185/89955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57185/89955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57185 ÷ 217
    57185 ÷ 131072     		x = 0.436286926269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89955 ÷ 217
    89955 ÷ 131072     		y = 0.686302185058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436286926269531 × 2 - 1) × π
    -0.127426147460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.40032105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686302185058594 × 2 - 1) × π
    -0.372604370117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.17057115182215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40032105} λ = -0.40032105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17057115182215))-π/2
    2×atan(0.310189725234893)-π/2
    2×0.300778751926546-π/2
    0.601557503853093-1.57079632675     		φ = -0.96923882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40032105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.936707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96923882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.533294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57185 KachelY 89955 -0.40032105 -0.96923882 -22.936707 -55.533294
    Oben rechts KachelX + 1 57186 KachelY 89955 -0.40027311 -0.96923882 -22.933960 -55.533294
    Unten links KachelX 57185 KachelY + 1 89956 -0.40032105 -0.96926595 -22.936707 -55.534848
    Unten rechts KachelX + 1 57186 KachelY + 1 89956 -0.40027311 -0.96926595 -22.933960 -55.534848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96923882--0.96926595) × R
    2.71300000000974e-05 × 6371000     		dl = 172.84523000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96923882--0.96926595) × R
    2.71300000000974e-05 × 6371000     		dr = 172.84523000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40032105--0.40027311) × cos(-0.96923882) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.56592725384115 × 6371000     		do = 172.848750290688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40032105--0.40027311) × cos(-0.96926595) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565904886163855 × 6371000     		du = 172.841918626298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96923882)-sin(-0.96926595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56592725384115-0.565904886163855)×R²
    abs(-0.40027311--0.40032105)×2.23676772946879e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23676772946879e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23676772946879e-05×40589641000000     		ar = 29875.4915906823m²