Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57180 / 89964
↖ ↑ ↗
← S 55.547281°
W 22.950439°		 ← 172.75 m → S 55.547281°
W 22.947693°		 →
↑
172.78 m
↓
↑
172.78 m
↓
S 55.548835°
W 22.950439°		 ← 172.74 m →
29 848 m²		 S 55.548835°
W 22.947693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436252593994141 y=0.686374664306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436252593994141 × 217)
    floor (0.436252593994141 × 131072)
    floor (57180.5)     		tx = 57180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686374664306641 × 217)
    floor (0.686374664306641 × 131072)
    floor (89964.5)     		ty = 89964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57180 / 89964 ti = "17/57180/89964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57180/89964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57180 ÷ 217
    57180 ÷ 131072     		x = 0.436248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89964 ÷ 217
    89964 ÷ 131072     		y = 0.686370849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436248779296875 × 2 - 1) × π
    -0.12750244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40056073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686370849609375 × 2 - 1) × π
    -0.37274169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17100258391873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40056073} λ = -0.40056073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17100258391873))-π/2
    2×atan(0.310055928295619)-π/2
    2×0.300656694046527-π/2
    0.601313388093053-1.57079632675     		φ = -0.96948294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40056073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.950439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96948294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.547281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57180 KachelY 89964 -0.40056073 -0.96948294 -22.950439 -55.547281
    Oben rechts KachelX + 1 57181 KachelY 89964 -0.40051280 -0.96948294 -22.947693 -55.547281
    Unten links KachelX 57180 KachelY + 1 89965 -0.40056073 -0.96951006 -22.950439 -55.548835
    Unten rechts KachelX + 1 57181 KachelY + 1 89965 -0.40051280 -0.96951006 -22.947693 -55.548835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96948294--0.96951006) × R
    2.71199999999361e-05 × 6371000     		dl = 172.781519999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96948294--0.96951006) × R
    2.71199999999361e-05 × 6371000     		dr = 172.781519999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40056073--0.40051280) × cos(-0.96948294) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.56572597098158 × 6371000     		do = 172.751230922562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40056073--0.40051280) × cos(-0.96951006) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.56570360780299 × 6371000     		du = 172.744402056951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96948294)-sin(-0.96951006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56572597098158-0.56570360780299)×R²
    abs(-0.40051280--0.40056073)×2.23631785898348e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.23631785898348e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.23631785898348e-05×40589641000000     		ar = 29847.6303115948m²