Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57176 / 89960
↖ ↑ ↗
← S 55.541065°
W 22.961426°		 ← 172.81 m → S 55.541065°
W 22.958679°		 →
↑
172.85 m
↓
↑
172.85 m
↓
S 55.542619°
W 22.961426°		 ← 172.81 m →
29 870 m²		 S 55.542619°
W 22.958679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436222076416016 y=0.686344146728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436222076416016 × 217)
    floor (0.436222076416016 × 131072)
    floor (57176.5)     		tx = 57176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686344146728516 × 217)
    floor (0.686344146728516 × 131072)
    floor (89960.5)     		ty = 89960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57176 / 89960 ti = "17/57176/89960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57176/89960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57176 ÷ 217
    57176 ÷ 131072     		x = 0.43621826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89960 ÷ 217
    89960 ÷ 131072     		y = 0.68634033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43621826171875 × 2 - 1) × π
    -0.1275634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40075248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68634033203125 × 2 - 1) × π
    -0.3726806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17081083632025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40075248} λ = -0.40075248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17081083632025))-π/2
    2×atan(0.310115386475564)-π/2
    2×0.300710936632827-π/2
    0.601421873265654-1.57079632675     		φ = -0.96937445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40075248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.961426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96937445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.541065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57176 KachelY 89960 -0.40075248 -0.96937445 -22.961426 -55.541065
    Oben rechts KachelX + 1 57177 KachelY 89960 -0.40070454 -0.96937445 -22.958679 -55.541065
    Unten links KachelX 57176 KachelY + 1 89961 -0.40075248 -0.96940158 -22.961426 -55.542619
    Unten rechts KachelX + 1 57177 KachelY + 1 89961 -0.40070454 -0.96940158 -22.958679 -55.542619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96937445--0.96940158) × R
    2.71299999999863e-05 × 6371000     		dl = 172.845229999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96937445--0.96940158) × R
    2.71299999999863e-05 × 6371000     		dr = 172.845229999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40075248--0.40070454) × cos(-0.96937445) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565815427780212 × 6371000     		do = 172.814595733274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40075248--0.40070454) × cos(-0.96940158) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565793058020754 × 6371000     		du = 172.807763432939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96937445)-sin(-0.96940158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565815427780212-0.565793058020754)×R²
    abs(-0.40070454--0.40075248)×2.23697594573524e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23697594573524e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23697594573524e-05×40589641000000     		ar = 29869.5880834117m²