Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57176 / 89896
↖ ↑ ↗
← S 55.441480°
W 22.961426°		 ← 173.25 m → S 55.441480°
W 22.958679°		 →
↑
173.23 m
↓
↑
173.23 m
↓
S 55.443037°
W 22.961426°		 ← 173.25 m →
30 011 m²		 S 55.443037°
W 22.958679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436222076416016 y=0.685855865478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436222076416016 × 217)
    floor (0.436222076416016 × 131072)
    floor (57176.5)     		tx = 57176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685855865478516 × 217)
    floor (0.685855865478516 × 131072)
    floor (89896.5)     		ty = 89896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57176 / 89896 ti = "17/57176/89896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57176/89896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57176 ÷ 217
    57176 ÷ 131072     		x = 0.43621826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89896 ÷ 217
    89896 ÷ 131072     		y = 0.68585205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43621826171875 × 2 - 1) × π
    -0.1275634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40075248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68585205078125 × 2 - 1) × π
    -0.3717041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.16774287474457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40075248} λ = -0.40075248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16774287474457))-π/2
    2×atan(0.311068269522177)-π/2
    2×0.301579984910174-π/2
    0.603159969820349-1.57079632675     		φ = -0.96763636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40075248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.961426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96763636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.441480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57176 KachelY 89896 -0.40075248 -0.96763636 -22.961426 -55.441480
    Oben rechts KachelX + 1 57177 KachelY 89896 -0.40070454 -0.96763636 -22.958679 -55.441480
    Unten links KachelX 57176 KachelY + 1 89897 -0.40075248 -0.96766355 -22.961426 -55.443037
    Unten rechts KachelX + 1 57177 KachelY + 1 89897 -0.40070454 -0.96766355 -22.958679 -55.443037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96763636--0.96766355) × R
    2.71900000000658e-05 × 6371000     		dl = 173.227490000419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96763636--0.96766355) × R
    2.71900000000658e-05 × 6371000     		dr = 173.227490000419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40075248--0.40070454) × cos(-0.96763636) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.567247683107078 × 6371000     		do = 173.252043376352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40075248--0.40070454) × cos(-0.96766355) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.567225290647786 × 6371000     		du = 173.245204142902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96763636)-sin(-0.96766355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567247683107078-0.567225290647786)×R²
    abs(-0.40070454--0.40075248)×2.2392459291698e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2392459291698e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2392459291698e-05×40589641000000     		ar = 30011.4242417593m²