Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57175 / 89961
↖ ↑ ↗
← S 55.542619°
W 22.964172°		 ← 172.81 m → S 55.542619°
W 22.961426°		 →
↑
172.78 m
↓
↑
172.78 m
↓
S 55.544173°
W 22.964172°		 ← 172.80 m →
29 857 m²		 S 55.544173°
W 22.961426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436214447021484 y=0.686351776123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436214447021484 × 217)
    floor (0.436214447021484 × 131072)
    floor (57175.5)     		tx = 57175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686351776123047 × 217)
    floor (0.686351776123047 × 131072)
    floor (89961.5)     		ty = 89961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57175 / 89961 ti = "17/57175/89961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57175/89961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57175 ÷ 217
    57175 ÷ 131072     		x = 0.436210632324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89961 ÷ 217
    89961 ÷ 131072     		y = 0.686347961425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436210632324219 × 2 - 1) × π
    -0.127578735351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.40080042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686347961425781 × 2 - 1) × π
    -0.372695922851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.17085877321987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40080042} λ = -0.40080042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17085877321987))-π/2
    2×atan(0.31010052086172)-π/2
    2×0.300697375182229-π/2
    0.601394750364458-1.57079632675     		φ = -0.96940158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40080042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.964172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96940158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.542619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57175 KachelY 89961 -0.40080042 -0.96940158 -22.964172 -55.542619
    Oben rechts KachelX + 1 57176 KachelY 89961 -0.40075248 -0.96940158 -22.961426 -55.542619
    Unten links KachelX 57175 KachelY + 1 89962 -0.40080042 -0.96942870 -22.964172 -55.544173
    Unten rechts KachelX + 1 57176 KachelY + 1 89962 -0.40075248 -0.96942870 -22.961426 -55.544173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96940158--0.96942870) × R
    2.71200000000471e-05 × 6371000     		dl = 172.7815200003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96940158--0.96942870) × R
    2.71200000000471e-05 × 6371000     		dr = 172.7815200003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40080042--0.40075248) × cos(-0.96940158) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.565793058020754 × 6371000     		do = 172.807763432738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40080042--0.40075248) × cos(-0.96942870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.565770696090478 × 6371000     		du = 172.800933523636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96940158)-sin(-0.96942870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565793058020754-0.565770696090478)×R²
    abs(-0.40075248--0.40080042)×2.23619302757161e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23619302757161e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23619302757161e-05×40589641000000     		ar = 29857.3979944167m²