Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57161 / 88521
↖ ↑ ↗
← S 53.240564°
W 23.002624°		 ← 182.75 m → S 53.240564°
W 22.999878°		 →
↑
182.78 m
↓
↑
182.78 m
↓
S 53.242208°
W 23.002624°		 ← 182.74 m →
33 402 m²		 S 53.242208°
W 22.999878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436107635498047 y=0.675365447998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436107635498047 × 217)
    floor (0.436107635498047 × 131072)
    floor (57161.5)     		tx = 57161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675365447998047 × 217)
    floor (0.675365447998047 × 131072)
    floor (88521.5)     		ty = 88521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57161 / 88521 ti = "17/57161/88521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57161/88521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57161 ÷ 217
    57161 ÷ 131072     		x = 0.436103820800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88521 ÷ 217
    88521 ÷ 131072     		y = 0.675361633300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436103820800781 × 2 - 1) × π
    -0.127792358398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.40147153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675361633300781 × 2 - 1) × π
    -0.350723266601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.10182963776699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40147153} λ = -0.40147153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10182963776699))-π/2
    2×atan(0.332262607007517)-π/2
    2×0.32078659135971-π/2
    0.641573182719421-1.57079632675     		φ = -0.92922314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40147153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.002624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92922314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.240564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57161 KachelY 88521 -0.40147153 -0.92922314 -23.002624 -53.240564
    Oben rechts KachelX + 1 57162 KachelY 88521 -0.40142360 -0.92922314 -22.999878 -53.240564
    Unten links KachelX 57161 KachelY + 1 88522 -0.40147153 -0.92925183 -23.002624 -53.242208
    Unten rechts KachelX + 1 57162 KachelY + 1 88522 -0.40142360 -0.92925183 -22.999878 -53.242208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92922314--0.92925183) × R
    2.86900000000534e-05 × 6371000     		dl = 182.78399000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92922314--0.92925183) × R
    2.86900000000534e-05 × 6371000     		dr = 182.78399000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40147153--0.40142360) × cos(-0.92922314) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.598456548292114 × 6371000     		do = 182.745906453385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40147153--0.40142360) × cos(-0.92925183) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.598433562901243 × 6371000     		du = 182.738887587768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92922314)-sin(-0.92925183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598456548292114-0.598433562901243)×R²
    abs(-0.40142360--0.40147153)×2.29853908703115e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29853908703115e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29853908703115e-05×40589641000000     		ar = 33402.3844721292m²