Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57157 / 90692
↖ ↑ ↗
← S 56.662265°
W 23.013611°		 ← 167.82 m → S 56.662265°
W 23.010865°		 →
↑
167.88 m
↓
↑
167.88 m
↓
S 56.663774°
W 23.013611°		 ← 167.81 m →
28 172 m²		 S 56.663774°
W 23.010865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436077117919922 y=0.691928863525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436077117919922 × 217)
    floor (0.436077117919922 × 131072)
    floor (57157.5)     		tx = 57157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691928863525391 × 217)
    floor (0.691928863525391 × 131072)
    floor (90692.5)     		ty = 90692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57157 / 90692 ti = "17/57157/90692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57157/90692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57157 ÷ 217
    57157 ÷ 131072     		x = 0.436073303222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90692 ÷ 217
    90692 ÷ 131072     		y = 0.691925048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436073303222656 × 2 - 1) × π
    -0.127853393554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.40166328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691925048828125 × 2 - 1) × π
    -0.38385009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.20590064684213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40166328} λ = -0.40166328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20590064684213))-π/2
    2×atan(0.29942220437358)-π/2
    2×0.290926622485572-π/2
    0.581853244971144-1.57079632675     		φ = -0.98894308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40166328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.013611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98894308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.662265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57157 KachelY 90692 -0.40166328 -0.98894308 -23.013611 -56.662265
    Oben rechts KachelX + 1 57158 KachelY 90692 -0.40161535 -0.98894308 -23.010865 -56.662265
    Unten links KachelX 57157 KachelY + 1 90693 -0.40166328 -0.98896943 -23.013611 -56.663774
    Unten rechts KachelX + 1 57158 KachelY + 1 90693 -0.40161535 -0.98896943 -23.010865 -56.663774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98894308--0.98896943) × R
    2.63500000000638e-05 × 6371000     		dl = 167.875850000407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98894308--0.98896943) × R
    2.63500000000638e-05 × 6371000     		dr = 167.875850000407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40166328--0.40161535) × cos(-0.98894308) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.549573166529204 × 6371000     		do = 167.818777764989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40166328--0.40161535) × cos(-0.98896943) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.549551152347107 × 6371000     		du = 167.812055469655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98894308)-sin(-0.98896943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549573166529204-0.549551152347107)×R²
    abs(-0.40161535--0.40166328)×2.20141820967967e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20141820967967e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20141820967967e-05×40589641000000     		ar = 28172.1557093398m²