Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57155 / 88387
↖ ↑ ↗
← S 53.019740°
W 23.019104°		 ← 183.73 m → S 53.019740°
W 23.016357°		 →
↑
183.74 m
↓
↑
183.74 m
↓
S 53.021392°
W 23.019104°		 ← 183.72 m →
33 757 m²		 S 53.021392°
W 23.016357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436061859130859 y=0.674343109130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436061859130859 × 217)
    floor (0.436061859130859 × 131072)
    floor (57155.5)     		tx = 57155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674343109130859 × 217)
    floor (0.674343109130859 × 131072)
    floor (88387.5)     		ty = 88387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57155 / 88387 ti = "17/57155/88387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57155/88387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57155 ÷ 217
    57155 ÷ 131072     		x = 0.436058044433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88387 ÷ 217
    88387 ÷ 131072     		y = 0.674339294433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436058044433594 × 2 - 1) × π
    -0.127883911132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.40175916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674339294433594 × 2 - 1) × π
    -0.348678588867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.0954060932179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40175916} λ = -0.40175916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0954060932179))-π/2
    2×atan(0.33440378026412)-π/2
    2×0.322713647054609-π/2
    0.645427294109219-1.57079632675     		φ = -0.92536903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40175916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.019104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92536903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.019740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57155 KachelY 88387 -0.40175916 -0.92536903 -23.019104 -53.019740
    Oben rechts KachelX + 1 57156 KachelY 88387 -0.40171122 -0.92536903 -23.016357 -53.019740
    Unten links KachelX 57155 KachelY + 1 88388 -0.40175916 -0.92539787 -23.019104 -53.021392
    Unten rechts KachelX + 1 57156 KachelY + 1 88388 -0.40171122 -0.92539787 -23.016357 -53.021392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92536903--0.92539787) × R
    2.88399999999189e-05 × 6371000     		dl = 183.739639999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92536903--0.92539787) × R
    2.88399999999189e-05 × 6371000     		dr = 183.739639999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40175916--0.40171122) × cos(-0.92536903) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.601539836388696 × 6371000     		do = 183.725749668589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40175916--0.40171122) × cos(-0.92539787) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.601516797512073 × 6371000     		du = 183.718713002647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92536903)-sin(-0.92539787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601539836388696-0.601516797512073)×R²
    abs(-0.40171122--0.40175916)×2.30388766233602e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30388766233602e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30388766233602e-05×40589641000000     		ar = 33757.056647809m²