Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57152 / 90817
↖ ↑ ↗
← S 56.850474°
W 23.027344°		 ← 167.01 m → S 56.850474°
W 23.024597°		 →
↑
166.98 m
↓
↑
166.98 m
↓
S 56.851976°
W 23.027344°		 ← 167.01 m →
27 888 m²		 S 56.851976°
W 23.024597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436038970947266 y=0.692882537841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436038970947266 × 217)
    floor (0.436038970947266 × 131072)
    floor (57152.5)     		tx = 57152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692882537841797 × 217)
    floor (0.692882537841797 × 131072)
    floor (90817.5)     		ty = 90817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57152 / 90817 ti = "17/57152/90817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57152/90817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57152 ÷ 217
    57152 ÷ 131072     		x = 0.43603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90817 ÷ 217
    90817 ÷ 131072     		y = 0.692878723144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43603515625 × 2 - 1) × π
    -0.1279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40190297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692878723144531 × 2 - 1) × π
    -0.385757446289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.21189275929464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40190297} λ = -0.40190297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21189275929464))-π/2
    2×atan(0.297633397572268)-π/2
    2×0.289284187860498-π/2
    0.578568375720997-1.57079632675     		φ = -0.99222795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40190297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.027344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99222795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.850474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57152 KachelY 90817 -0.40190297 -0.99222795 -23.027344 -56.850474
    Oben rechts KachelX + 1 57153 KachelY 90817 -0.40185503 -0.99222795 -23.024597 -56.850474
    Unten links KachelX 57152 KachelY + 1 90818 -0.40190297 -0.99225416 -23.027344 -56.851976
    Unten rechts KachelX + 1 57153 KachelY + 1 90818 -0.40185503 -0.99225416 -23.024597 -56.851976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99222795--0.99225416) × R
    2.62100000000265e-05 × 6371000     		dl = 166.983910000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99222795--0.99225416) × R
    2.62100000000265e-05 × 6371000     		dr = 166.983910000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40190297--0.40185503) × cos(-0.99222795) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.546825876261343 × 6371000     		do = 167.014697908353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40190297--0.40185503) × cos(-0.99225416) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.546803931846524 × 6371000     		du = 167.007995519218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99222795)-sin(-0.99225416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546825876261343-0.546803931846524)×R²
    abs(-0.40185503--0.40190297)×2.19444148196191e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19444148196191e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19444148196191e-05×40589641000000     		ar = 27888.2076902775m²