Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57131 / 89893
↖ ↑ ↗
← S 55.436805°
W 23.085022°		 ← 173.27 m → S 55.436805°
W 23.082275°		 →
↑
173.23 m
↓
↑
173.23 m
↓
S 55.438363°
W 23.085022°		 ← 173.27 m →
30 015 m²		 S 55.438363°
W 23.082275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435878753662109 y=0.685832977294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435878753662109 × 217)
    floor (0.435878753662109 × 131072)
    floor (57131.5)     		tx = 57131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685832977294922 × 217)
    floor (0.685832977294922 × 131072)
    floor (89893.5)     		ty = 89893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57131 / 89893 ti = "17/57131/89893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57131/89893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57131 ÷ 217
    57131 ÷ 131072     		x = 0.435874938964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89893 ÷ 217
    89893 ÷ 131072     		y = 0.685829162597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435874938964844 × 2 - 1) × π
    -0.128250122070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.40290964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685829162597656 × 2 - 1) × π
    -0.371658325195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.16759906404571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40290964} λ = -0.40290964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16759906404571))-π/2
    2×atan(0.311113007684246)-π/2
    2×0.301620775468641-π/2
    0.603241550937281-1.57079632675     		φ = -0.96755478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40290964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.085022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96755478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.436805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57131 KachelY 89893 -0.40290964 -0.96755478 -23.085022 -55.436805
    Oben rechts KachelX + 1 57132 KachelY 89893 -0.40286170 -0.96755478 -23.082275 -55.436805
    Unten links KachelX 57131 KachelY + 1 89894 -0.40290964 -0.96758197 -23.085022 -55.438363
    Unten rechts KachelX + 1 57132 KachelY + 1 89894 -0.40286170 -0.96758197 -23.082275 -55.438363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96755478--0.96758197) × R
    2.71900000000658e-05 × 6371000     		dl = 173.227490000419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96755478--0.96758197) × R
    2.71900000000658e-05 × 6371000     		dr = 173.227490000419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40290964--0.40286170) × cos(-0.96755478) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.567314866203712 × 6371000     		do = 173.272562823357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40290964--0.40286170) × cos(-0.96758197) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.567292475002716 × 6371000     		du = 173.265723974223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96755478)-sin(-0.96758197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567314866203712-0.567292475002716)×R²
    abs(-0.40286170--0.40290964)×2.23912009957861e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23912009957861e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23912009957861e-05×40589641000000     		ar = 30014.978807218m²