Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57128 / 88888
↖ ↑ ↗
← S 53.839563°
W 23.093262°		 ← 180.18 m → S 53.839563°
W 23.090515°		 →
↑
180.24 m
↓
↑
180.24 m
↓
S 53.841184°
W 23.093262°		 ← 180.17 m →
32 474 m²		 S 53.841184°
W 23.090515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435855865478516 y=0.678165435791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435855865478516 × 217)
    floor (0.435855865478516 × 131072)
    floor (57128.5)     		tx = 57128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678165435791016 × 217)
    floor (0.678165435791016 × 131072)
    floor (88888.5)     		ty = 88888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57128 / 88888 ti = "17/57128/88888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57128/88888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57128 ÷ 217
    57128 ÷ 131072     		x = 0.43585205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88888 ÷ 217
    88888 ÷ 131072     		y = 0.67816162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43585205078125 × 2 - 1) × π
    -0.1282958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40305345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67816162109375 × 2 - 1) × π
    -0.3563232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.11942247992755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40305345} λ = -0.40305345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11942247992755))-π/2
    2×atan(0.326468282176103)-π/2
    2×0.315559336390489-π/2
    0.631118672780978-1.57079632675     		φ = -0.93967765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40305345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.093262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93967765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.839563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57128 KachelY 88888 -0.40305345 -0.93967765 -23.093262 -53.839563
    Oben rechts KachelX + 1 57129 KachelY 88888 -0.40300552 -0.93967765 -23.090515 -53.839563
    Unten links KachelX 57128 KachelY + 1 88889 -0.40305345 -0.93970594 -23.093262 -53.841184
    Unten rechts KachelX + 1 57129 KachelY + 1 88889 -0.40300552 -0.93970594 -23.090515 -53.841184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93967765--0.93970594) × R
    2.82899999999309e-05 × 6371000     		dl = 180.23558999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93967765--0.93970594) × R
    2.82899999999309e-05 × 6371000     		dr = 180.23558999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40305345--0.40300552) × cos(-0.93967765) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.59004831073796 × 6371000     		do = 180.178349964916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40305345--0.40300552) × cos(-0.93970594) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.590025470062817 × 6371000     		du = 180.171375289988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93967765)-sin(-0.93970594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59004831073796-0.590025470062817)×R²
    abs(-0.40300552--0.40305345)×2.28406751424659e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.28406751424659e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.28406751424659e-05×40589641000000     		ar = 32473.9226709867m²