Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57128 / 88744
↖ ↑ ↗
← S 53.605544°
W 23.093262°		 ← 181.18 m → S 53.605544°
W 23.090515°		 →
↑
181.19 m
↓
↑
181.19 m
↓
S 53.607173°
W 23.093262°		 ← 181.18 m →
32 828 m²		 S 53.607173°
W 23.090515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435855865478516 y=0.677066802978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435855865478516 × 217)
    floor (0.435855865478516 × 131072)
    floor (57128.5)     		tx = 57128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677066802978516 × 217)
    floor (0.677066802978516 × 131072)
    floor (88744.5)     		ty = 88744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57128 / 88744 ti = "17/57128/88744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57128/88744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57128 ÷ 217
    57128 ÷ 131072     		x = 0.43585205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88744 ÷ 217
    88744 ÷ 131072     		y = 0.67706298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43585205078125 × 2 - 1) × π
    -0.1282958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40305345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67706298828125 × 2 - 1) × π
    -0.3541259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11251956638226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40305345} λ = -0.40305345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11251956638226))-π/2
    2×atan(0.328729660573438)-π/2
    2×0.317601542479521-π/2
    0.635203084959043-1.57079632675     		φ = -0.93559324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40305345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.093262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93559324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.605544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57128 KachelY 88744 -0.40305345 -0.93559324 -23.093262 -53.605544
    Oben rechts KachelX + 1 57129 KachelY 88744 -0.40300552 -0.93559324 -23.090515 -53.605544
    Unten links KachelX 57128 KachelY + 1 88745 -0.40305345 -0.93562168 -23.093262 -53.607173
    Unten rechts KachelX + 1 57129 KachelY + 1 88745 -0.40300552 -0.93562168 -23.090515 -53.607173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93559324--0.93562168) × R
    2.84400000000185e-05 × 6371000     		dl = 181.191240000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93559324--0.93562168) × R
    2.84400000000185e-05 × 6371000     		dr = 181.191240000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40305345--0.40300552) × cos(-0.93559324) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.593341001552608 × 6371000     		do = 181.183812716239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40305345--0.40300552) × cos(-0.93562168) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.593318108500146 × 6371000     		du = 181.176822047266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93559324)-sin(-0.93562168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593341001552608-0.593318108500146)×R²
    abs(-0.40300552--0.40305345)×2.28930524617255e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.28930524617255e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.28930524617255e-05×40589641000000     		ar = 32828.2863723353m²