Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57127 / 88883
↖ ↑ ↗
← S 53.831460°
W 23.096008°		 ← 180.25 m → S 53.831460°
W 23.093262°		 →
↑
180.24 m
↓
↑
180.24 m
↓
S 53.833080°
W 23.096008°		 ← 180.24 m →
32 487 m²		 S 53.833080°
W 23.093262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435848236083984 y=0.678127288818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435848236083984 × 217)
    floor (0.435848236083984 × 131072)
    floor (57127.5)     		tx = 57127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678127288818359 × 217)
    floor (0.678127288818359 × 131072)
    floor (88883.5)     		ty = 88883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57127 / 88883 ti = "17/57127/88883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57127/88883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57127 ÷ 217
    57127 ÷ 131072     		x = 0.435844421386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88883 ÷ 217
    88883 ÷ 131072     		y = 0.678123474121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435844421386719 × 2 - 1) × π
    -0.128311157226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.40310139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678123474121094 × 2 - 1) × π
    -0.356246948242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.11918279542945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40310139} λ = -0.40310139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11918279542945))-π/2
    2×atan(0.326546540940793)-π/2
    2×0.315630055948849-π/2
    0.631260111897698-1.57079632675     		φ = -0.93953621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40310139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.096008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93953621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.831460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57127 KachelY 88883 -0.40310139 -0.93953621 -23.096008 -53.831460
    Oben rechts KachelX + 1 57128 KachelY 88883 -0.40305345 -0.93953621 -23.093262 -53.831460
    Unten links KachelX 57127 KachelY + 1 88884 -0.40310139 -0.93956450 -23.096008 -53.833080
    Unten rechts KachelX + 1 57128 KachelY + 1 88884 -0.40305345 -0.93956450 -23.093262 -53.833080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93953621--0.93956450) × R
    2.82900000000419e-05 × 6371000     		dl = 180.235590000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93953621--0.93956450) × R
    2.82900000000419e-05 × 6371000     		dr = 180.235590000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40310139--0.40305345) × cos(-0.93953621) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.590162498957014 × 6371000     		do = 180.250817964286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40310139--0.40305345) × cos(-0.93956450) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.590139660643036 × 6371000     		du = 180.243842555339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93953621)-sin(-0.93956450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590162498957014-0.590139660643036)×R²
    abs(-0.40305345--0.40310139)×2.28383139773136e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28383139773136e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28383139773136e-05×40589641000000     		ar = 32486.9839175383m²