Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57122 / 88546
↖ ↑ ↗
← S 53.281637°
W 23.109741°		 ← 182.57 m → S 53.281637°
W 23.106995°		 →
↑
182.59 m
↓
↑
182.59 m
↓
S 53.283279°
W 23.109741°		 ← 182.56 m →
33 335 m²		 S 53.283279°
W 23.106995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435810089111328 y=0.675556182861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435810089111328 × 217)
    floor (0.435810089111328 × 131072)
    floor (57122.5)     		tx = 57122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675556182861328 × 217)
    floor (0.675556182861328 × 131072)
    floor (88546.5)     		ty = 88546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57122 / 88546 ti = "17/57122/88546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57122/88546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57122 ÷ 217
    57122 ÷ 131072     		x = 0.435806274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88546 ÷ 217
    88546 ÷ 131072     		y = 0.675552368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435806274414062 × 2 - 1) × π
    -0.128387451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40334107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675552368164062 × 2 - 1) × π
    -0.351104736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10302806025749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40334107} λ = -0.40334107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10302806025749))-π/2
    2×atan(0.331864654531754)-π/2
    2×0.320428161594631-π/2
    0.640856323189263-1.57079632675     		φ = -0.92994000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40334107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.109741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92994000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.281637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57122 KachelY 88546 -0.40334107 -0.92994000 -23.109741 -53.281637
    Oben rechts KachelX + 1 57123 KachelY 88546 -0.40329314 -0.92994000 -23.106995 -53.281637
    Unten links KachelX 57122 KachelY + 1 88547 -0.40334107 -0.92996866 -23.109741 -53.283279
    Unten rechts KachelX + 1 57123 KachelY + 1 88547 -0.40329314 -0.92996866 -23.106995 -53.283279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92994000--0.92996866) × R
    2.86600000000137e-05 × 6371000     		dl = 182.592860000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92994000--0.92996866) × R
    2.86600000000137e-05 × 6371000     		dr = 182.592860000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40334107--0.40329314) × cos(-0.92994000) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.597882078407621 × 6371000     		do = 182.570485163282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40334107--0.40329314) × cos(-0.92996866) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.597859104762646 × 6371000     		du = 182.563469884416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92994000)-sin(-0.92996866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597882078407621-0.597859104762646)×R²
    abs(-0.40329314--0.40334107)×2.2973644974722e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2973644974722e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2973644974722e-05×40589641000000     		ar = 33335.426570056m²