Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57112 / 89928
↖ ↑ ↗
← S 55.491303°
W 23.137207°		 ← 173 m → S 55.491303°
W 23.134461°		 →
↑
173.04 m
↓
↑
173.04 m
↓
S 55.492860°
W 23.137207°		 ← 172.99 m →
29 934 m²		 S 55.492860°
W 23.134461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435733795166016 y=0.686100006103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435733795166016 × 217)
    floor (0.435733795166016 × 131072)
    floor (57112.5)     		tx = 57112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686100006103516 × 217)
    floor (0.686100006103516 × 131072)
    floor (89928.5)     		ty = 89928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57112 / 89928 ti = "17/57112/89928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57112/89928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57112 ÷ 217
    57112 ÷ 131072     		x = 0.43572998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89928 ÷ 217
    89928 ÷ 131072     		y = 0.68609619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43572998046875 × 2 - 1) × π
    -0.1285400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40382044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68609619140625 × 2 - 1) × π
    -0.3721923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16927685553241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40382044} λ = -0.40382044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16927685553241))-π/2
    2×atan(0.31059146257287)-π/2
    2×0.301145186138896-π/2
    0.602290372277791-1.57079632675     		φ = -0.96850595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40382044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.137207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96850595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.491303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57112 KachelY 89928 -0.40382044 -0.96850595 -23.137207 -55.491303
    Oben rechts KachelX + 1 57113 KachelY 89928 -0.40377251 -0.96850595 -23.134461 -55.491303
    Unten links KachelX 57112 KachelY + 1 89929 -0.40382044 -0.96853311 -23.137207 -55.492860
    Unten rechts KachelX + 1 57113 KachelY + 1 89929 -0.40377251 -0.96853311 -23.134461 -55.492860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96850595--0.96853311) × R
    2.71600000000261e-05 × 6371000     		dl = 173.036360000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96850595--0.96853311) × R
    2.71600000000261e-05 × 6371000     		dr = 173.036360000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40382044--0.40377251) × cos(-0.96850595) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.566531320275306 × 6371000     		do = 172.997154017953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40382044--0.40377251) × cos(-0.96853311) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.566508939134325 × 6371000     		du = 172.99031966731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96850595)-sin(-0.96853311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566531320275306-0.566508939134325)×R²
    abs(-0.40377251--0.40382044)×2.23811409811869e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.23811409811869e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.23811409811869e-05×40589641000000     		ar = 29934.2065279082m²