Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57108 / 89868
↖ ↑ ↗
← S 55.397832°
W 23.148193°		 ← 173.44 m → S 55.397832°
W 23.145447°		 →
↑
173.42 m
↓
↑
173.42 m
↓
S 55.399391°
W 23.148193°		 ← 173.44 m →
30 078 m²		 S 55.399391°
W 23.145447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435703277587891 y=0.685642242431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435703277587891 × 217)
    floor (0.435703277587891 × 131072)
    floor (57108.5)     		tx = 57108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685642242431641 × 217)
    floor (0.685642242431641 × 131072)
    floor (89868.5)     		ty = 89868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57108 / 89868 ti = "17/57108/89868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57108/89868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57108 ÷ 217
    57108 ÷ 131072     		x = 0.435699462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89868 ÷ 217
    89868 ÷ 131072     		y = 0.685638427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435699462890625 × 2 - 1) × π
    -0.12860107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40401219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685638427734375 × 2 - 1) × π
    -0.37127685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16640064155521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40401219} λ = -0.40401219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16640064155521))-π/2
    2×atan(0.311486076011829)-π/2
    2×0.301960884691548-π/2
    0.603921769383096-1.57079632675     		φ = -0.96687456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40401219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.148193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96687456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.397832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57108 KachelY 89868 -0.40401219 -0.96687456 -23.148193 -55.397832
    Oben rechts KachelX + 1 57109 KachelY 89868 -0.40396425 -0.96687456 -23.145447 -55.397832
    Unten links KachelX 57108 KachelY + 1 89869 -0.40401219 -0.96690178 -23.148193 -55.399391
    Unten rechts KachelX + 1 57109 KachelY + 1 89869 -0.40396425 -0.96690178 -23.145447 -55.399391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96687456--0.96690178) × R
    2.72199999999945e-05 × 6371000     		dl = 173.418619999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96687456--0.96690178) × R
    2.72199999999945e-05 × 6371000     		dr = 173.418619999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40401219--0.40396425) × cos(-0.96687456) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.567874896740184 × 6371000     		do = 173.44361056418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40401219--0.40396425) × cos(-0.96690178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.567852491342842 × 6371000     		du = 173.436767379117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96687456)-sin(-0.96690178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567874896740184-0.567852491342842)×R²
    abs(-0.40396425--0.40401219)×2.24053973415517e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24053973415517e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24053973415517e-05×40589641000000     		ar = 30077.7582259797m²