Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57107 / 89871
↖ ↑ ↗
← S 55.402510°
W 23.150940°		 ← 173.42 m → S 55.402510°
W 23.148193°		 →
↑
173.42 m
↓
↑
173.42 m
↓
S 55.404070°
W 23.150940°		 ← 173.42 m →
30 074 m²		 S 55.404070°
W 23.148193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435695648193359 y=0.685665130615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435695648193359 × 217)
    floor (0.435695648193359 × 131072)
    floor (57107.5)     		tx = 57107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685665130615234 × 217)
    floor (0.685665130615234 × 131072)
    floor (89871.5)     		ty = 89871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57107 / 89871 ti = "17/57107/89871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57107/89871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57107 ÷ 217
    57107 ÷ 131072     		x = 0.435691833496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89871 ÷ 217
    89871 ÷ 131072     		y = 0.685661315917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435691833496094 × 2 - 1) × π
    -0.128616333007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.40406013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685661315917969 × 2 - 1) × π
    -0.371322631835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.16654445225407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40406013} λ = -0.40406013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16654445225407))-π/2
    2×atan(0.311441284202401)-π/2
    2×0.301920053865233-π/2
    0.603840107730466-1.57079632675     		φ = -0.96695622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40406013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.150940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96695622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.402510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57107 KachelY 89871 -0.40406013 -0.96695622 -23.150940 -55.402510
    Oben rechts KachelX + 1 57108 KachelY 89871 -0.40401219 -0.96695622 -23.148193 -55.402510
    Unten links KachelX 57107 KachelY + 1 89872 -0.40406013 -0.96698344 -23.150940 -55.404070
    Unten rechts KachelX + 1 57108 KachelY + 1 89872 -0.40401219 -0.96698344 -23.148193 -55.404070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96695622--0.96698344) × R
    2.72199999999945e-05 × 6371000     		dl = 173.418619999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96695622--0.96698344) × R
    2.72199999999945e-05 × 6371000     		dr = 173.418619999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40406013--0.40401219) × cos(-0.96695622) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.567807679285961 × 6371000     		do = 173.423080623685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40406013--0.40401219) × cos(-0.96698344) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.567785272626456 × 6371000     		du = 173.416237053124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96695622)-sin(-0.96698344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567807679285961-0.567785272626456)×R²
    abs(-0.40401219--0.40406013)×2.24066595059247e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24066595059247e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24066595059247e-05×40589641000000     		ar = 30074.1979185702m²