Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57106 / 88831
↖ ↑ ↗
← S 53.747087°
W 23.153686°		 ← 180.58 m → S 53.747087°
W 23.150940°		 →
↑
180.55 m
↓
↑
180.55 m
↓
S 53.748711°
W 23.153686°		 ← 180.57 m →
32 603 m²		 S 53.748711°
W 23.150940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435688018798828 y=0.677730560302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435688018798828 × 217)
    floor (0.435688018798828 × 131072)
    floor (57106.5)     		tx = 57106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677730560302734 × 217)
    floor (0.677730560302734 × 131072)
    floor (88831.5)     		ty = 88831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57106 / 88831 ti = "17/57106/88831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57106/88831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57106 ÷ 217
    57106 ÷ 131072     		x = 0.435684204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88831 ÷ 217
    88831 ÷ 131072     		y = 0.677726745605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435684204101562 × 2 - 1) × π
    -0.128631591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40410806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677726745605469 × 2 - 1) × π
    -0.355453491210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.11669007664921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40410806} λ = -0.40410806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11669007664921))-π/2
    2×atan(0.327361545001972)-π/2
    2×0.316366350837333-π/2
    0.632732701674666-1.57079632675     		φ = -0.93806363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40410806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.153686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93806363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.747087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57106 KachelY 88831 -0.40410806 -0.93806363 -23.153686 -53.747087
    Oben rechts KachelX + 1 57107 KachelY 88831 -0.40406013 -0.93806363 -23.150940 -53.747087
    Unten links KachelX 57106 KachelY + 1 88832 -0.40410806 -0.93809197 -23.153686 -53.748711
    Unten rechts KachelX + 1 57107 KachelY + 1 88832 -0.40406013 -0.93809197 -23.150940 -53.748711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93806363--0.93809197) × R
    2.83399999999601e-05 × 6371000     		dl = 180.554139999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93806363--0.93809197) × R
    2.83399999999601e-05 × 6371000     		dr = 180.554139999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40410806--0.40406013) × cos(-0.93806363) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.59135064961953 × 6371000     		do = 180.57603480954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40410806--0.40406013) × cos(-0.93809197) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.591327795594016 × 6371000     		du = 180.569056057915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93806363)-sin(-0.93809197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59135064961953-0.591327795594016)×R²
    abs(-0.40406013--0.40410806)×2.28540255139409e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.28540255139409e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.28540255139409e-05×40589641000000     		ar = 32603.1206504895m²