Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57103 / 89863
↖ ↑ ↗
← S 55.390032°
W 23.161926°		 ← 173.44 m → S 55.390032°
W 23.159180°		 →
↑
173.48 m
↓
↑
173.48 m
↓
S 55.391592°
W 23.161926°		 ← 173.43 m →
30 088 m²		 S 55.391592°
W 23.159180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435665130615234 y=0.685604095458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435665130615234 × 217)
    floor (0.435665130615234 × 131072)
    floor (57103.5)     		tx = 57103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685604095458984 × 217)
    floor (0.685604095458984 × 131072)
    floor (89863.5)     		ty = 89863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57103 / 89863 ti = "17/57103/89863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57103/89863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57103 ÷ 217
    57103 ÷ 131072     		x = 0.435661315917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89863 ÷ 217
    89863 ÷ 131072     		y = 0.685600280761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435661315917969 × 2 - 1) × π
    -0.128677368164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.40425187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685600280761719 × 2 - 1) × π
    -0.371200561523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.16616095705711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40425187} λ = -0.40425187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16616095705711))-π/2
    2×atan(0.311560743343567)-π/2
    2×0.302028946810092-π/2
    0.604057893620184-1.57079632675     		φ = -0.96673843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40425187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.161926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96673843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.390032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57103 KachelY 89863 -0.40425187 -0.96673843 -23.161926 -55.390032
    Oben rechts KachelX + 1 57104 KachelY 89863 -0.40420394 -0.96673843 -23.159180 -55.390032
    Unten links KachelX 57103 KachelY + 1 89864 -0.40425187 -0.96676566 -23.161926 -55.391592
    Unten rechts KachelX + 1 57104 KachelY + 1 89864 -0.40420394 -0.96676566 -23.159180 -55.391592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96673843--0.96676566) × R
    2.72299999999337e-05 × 6371000     		dl = 173.482329999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96673843--0.96676566) × R
    2.72299999999337e-05 × 6371000     		dr = 173.482329999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40425187--0.40420394) × cos(-0.96673843) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.567986942106367 × 6371000     		do = 173.441645655199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40425187--0.40420394) × cos(-0.96676566) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.567964530582899 × 6371000     		du = 173.434802026897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96673843)-sin(-0.96676566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567986942106367-0.567964530582899)×R²
    abs(-0.40420394--0.40425187)×2.24115234688238e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.24115234688238e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.24115234688238e-05×40589641000000     		ar = 30088.4671847812m²