Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57102 / 89865
↖ ↑ ↗
← S 55.393152°
W 23.164673°		 ← 173.46 m → S 55.393152°
W 23.161926°		 →
↑
173.42 m
↓
↑
173.42 m
↓
S 55.394712°
W 23.164673°		 ← 173.46 m →
30 081 m²		 S 55.394712°
W 23.161926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435657501220703 y=0.685619354248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435657501220703 × 217)
    floor (0.435657501220703 × 131072)
    floor (57102.5)     		tx = 57102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685619354248047 × 217)
    floor (0.685619354248047 × 131072)
    floor (89865.5)     		ty = 89865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57102 / 89865 ti = "17/57102/89865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57102/89865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57102 ÷ 217
    57102 ÷ 131072     		x = 0.435653686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89865 ÷ 217
    89865 ÷ 131072     		y = 0.685615539550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435653686523438 × 2 - 1) × π
    -0.128692626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40429981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685615539550781 × 2 - 1) × π
    -0.371231079101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.16625683085635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40429981} λ = -0.40429981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16625683085635))-π/2
    2×atan(0.311530874263262)-π/2
    2×0.302001720351405-π/2
    0.60400344070281-1.57079632675     		φ = -0.96679289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40429981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.164673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96679289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.393152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57102 KachelY 89865 -0.40429981 -0.96679289 -23.164673 -55.393152
    Oben rechts KachelX + 1 57103 KachelY 89865 -0.40425187 -0.96679289 -23.161926 -55.393152
    Unten links KachelX 57102 KachelY + 1 89866 -0.40429981 -0.96682011 -23.164673 -55.394712
    Unten rechts KachelX + 1 57103 KachelY + 1 89866 -0.40425187 -0.96682011 -23.161926 -55.394712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96679289--0.96682011) × R
    2.72199999999945e-05 × 6371000     		dl = 173.418619999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96679289--0.96682011) × R
    2.72199999999945e-05 × 6371000     		dr = 173.418619999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40429981--0.40425187) × cos(-0.96679289) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.567942118638299 × 6371000     		do = 173.464141862157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40429981--0.40425187) × cos(-0.96682011) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.567919714503426 × 6371000     		du = 173.457299062684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96679289)-sin(-0.96682011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567942118638299-0.567919714503426)×R²
    abs(-0.40425187--0.40429981)×2.24041348733106e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24041348733106e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24041348733106e-05×40589641000000     		ar = 30081.3187686858m²