Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57101 / 89870
↖ ↑ ↗
← S 55.400951°
W 23.167420°		 ← 173.43 m → S 55.400951°
W 23.164673°		 →
↑
173.42 m
↓
↑
173.42 m
↓
S 55.402510°
W 23.167420°		 ← 173.42 m →
30 075 m²		 S 55.402510°
W 23.164673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435649871826172 y=0.685657501220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435649871826172 × 217)
    floor (0.435649871826172 × 131072)
    floor (57101.5)     		tx = 57101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685657501220703 × 217)
    floor (0.685657501220703 × 131072)
    floor (89870.5)     		ty = 89870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57101 / 89870 ti = "17/57101/89870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57101/89870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57101 ÷ 217
    57101 ÷ 131072     		x = 0.435646057128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89870 ÷ 217
    89870 ÷ 131072     		y = 0.685653686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435646057128906 × 2 - 1) × π
    -0.128707885742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.40434775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685653686523438 × 2 - 1) × π
    -0.371307373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16649651535445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40434775} λ = -0.40434775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16649651535445))-π/2
    2×atan(0.311456214089822)-π/2
    2×0.30193366360363-π/2
    0.603867327207259-1.57079632675     		φ = -0.96692900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40434775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.167420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96692900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.400951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57101 KachelY 89870 -0.40434775 -0.96692900 -23.167420 -55.400951
    Oben rechts KachelX + 1 57102 KachelY 89870 -0.40429981 -0.96692900 -23.164673 -55.400951
    Unten links KachelX 57101 KachelY + 1 89871 -0.40434775 -0.96695622 -23.167420 -55.402510
    Unten rechts KachelX + 1 57102 KachelY + 1 89871 -0.40429981 -0.96695622 -23.164673 -55.402510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96692900--0.96695622) × R
    2.72199999999945e-05 × 6371000     		dl = 173.418619999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96692900--0.96695622) × R
    2.72199999999945e-05 × 6371000     		dr = 173.418619999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40434775--0.40429981) × cos(-0.96692900) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.567830085524762 × 6371000     		do = 173.429924065751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40434775--0.40429981) × cos(-0.96695622) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.567807679285961 × 6371000     		du = 173.423080623685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96692900)-sin(-0.96695622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567830085524762-0.567807679285961)×R²
    abs(-0.40429981--0.40434775)×2.24062388010093e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24062388010093e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24062388010093e-05×40589641000000     		ar = 30075.3847098258m²