Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57098 / 90894
↖ ↑ ↗
← S 56.965942°
W 23.175659°		 ← 166.50 m → S 56.965942°
W 23.172912°		 →
↑
166.47 m
↓
↑
166.47 m
↓
S 56.967439°
W 23.175659°		 ← 166.49 m →
27 717 m²		 S 56.967439°
W 23.172912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435626983642578 y=0.693470001220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435626983642578 × 217)
    floor (0.435626983642578 × 131072)
    floor (57098.5)     		tx = 57098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693470001220703 × 217)
    floor (0.693470001220703 × 131072)
    floor (90894.5)     		ty = 90894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57098 / 90894 ti = "17/57098/90894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57098/90894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57098 ÷ 217
    57098 ÷ 131072     		x = 0.435623168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90894 ÷ 217
    90894 ÷ 131072     		y = 0.693466186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435623168945312 × 2 - 1) × π
    -0.128753662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40449156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693466186523438 × 2 - 1) × π
    -0.386932373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.21558390056538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40449156} λ = -0.40449156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21558390056538))-π/2
    2×atan(0.296536815719238)-π/2
    2×0.288276540581739-π/2
    0.576553081163479-1.57079632675     		φ = -0.99424325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40449156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.175659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99424325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.965942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57098 KachelY 90894 -0.40449156 -0.99424325 -23.175659 -56.965942
    Oben rechts KachelX + 1 57099 KachelY 90894 -0.40444362 -0.99424325 -23.172912 -56.965942
    Unten links KachelX 57098 KachelY + 1 90895 -0.40449156 -0.99426938 -23.175659 -56.967439
    Unten rechts KachelX + 1 57099 KachelY + 1 90895 -0.40444362 -0.99426938 -23.172912 -56.967439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99424325--0.99426938) × R
    2.61299999999576e-05 × 6371000     		dl = 166.47422999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99424325--0.99426938) × R
    2.61299999999576e-05 × 6371000     		dr = 166.47422999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40449156--0.40444362) × cos(-0.99424325) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.545137464373489 × 6371000     		do = 166.49901345808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40449156--0.40444362) × cos(-0.99426938) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.54511555818881 × 6371000     		du = 166.492322745414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99424325)-sin(-0.99426938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545137464373489-0.54511555818881)×R²
    abs(-0.40444362--0.40449156)×2.19061846791213e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19061846791213e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19061846791213e-05×40589641000000     		ar = 27717.2381471447m²