Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57097 / 89874
↖ ↑ ↗
← S 55.407189°
W 23.178406°		 ← 173.40 m → S 55.407189°
W 23.175659°		 →
↑
173.42 m
↓
↑
173.42 m
↓
S 55.408748°
W 23.178406°		 ← 173.40 m →
30 071 m²		 S 55.408748°
W 23.175659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435619354248047 y=0.685688018798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435619354248047 × 217)
    floor (0.435619354248047 × 131072)
    floor (57097.5)     		tx = 57097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685688018798828 × 217)
    floor (0.685688018798828 × 131072)
    floor (89874.5)     		ty = 89874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57097 / 89874 ti = "17/57097/89874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57097/89874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57097 ÷ 217
    57097 ÷ 131072     		x = 0.435615539550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89874 ÷ 217
    89874 ÷ 131072     		y = 0.685684204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435615539550781 × 2 - 1) × π
    -0.128768920898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.40453950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685684204101562 × 2 - 1) × π
    -0.371368408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16668826295293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40453950} λ = -0.40453950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16668826295293))-π/2
    2×atan(0.31139649883405)-π/2
    2×0.301879227872161-π/2
    0.603758455744322-1.57079632675     		φ = -0.96703787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40453950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.178406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96703787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.407189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57097 KachelY 89874 -0.40453950 -0.96703787 -23.178406 -55.407189
    Oben rechts KachelX + 1 57098 KachelY 89874 -0.40449156 -0.96703787 -23.175659 -55.407189
    Unten links KachelX 57097 KachelY + 1 89875 -0.40453950 -0.96706509 -23.178406 -55.408748
    Unten rechts KachelX + 1 57098 KachelY + 1 89875 -0.40449156 -0.96706509 -23.175659 -55.408748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96703787--0.96706509) × R
    2.72199999999945e-05 × 6371000     		dl = 173.418619999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96703787--0.96706509) × R
    2.72199999999945e-05 × 6371000     		dr = 173.418619999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40453950--0.40449156) × cos(-0.96703787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.567740466277472 × 6371000     		do = 173.402552040628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40453950--0.40449156) × cos(-0.96706509) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.567718058356105 × 6371000     		du = 173.395708084663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96703787)-sin(-0.96706509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567740466277472-0.567718058356105)×R²
    abs(-0.40449156--0.40453950)×2.24079213662076e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24079213662076e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24079213662076e-05×40589641000000     		ar = 30070.6378465688m²