Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57094 / 89875
↖ ↑ ↗
← S 55.408748°
W 23.186646°		 ← 173.40 m → S 55.408748°
W 23.183899°		 →
↑
173.35 m
↓
↑
173.35 m
↓
S 55.410307°
W 23.186646°		 ← 173.39 m →
30 058 m²		 S 55.410307°
W 23.183899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435596466064453 y=0.685695648193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435596466064453 × 217)
    floor (0.435596466064453 × 131072)
    floor (57094.5)     		tx = 57094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685695648193359 × 217)
    floor (0.685695648193359 × 131072)
    floor (89875.5)     		ty = 89875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57094 / 89875 ti = "17/57094/89875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57094/89875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57094 ÷ 217
    57094 ÷ 131072     		x = 0.435592651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89875 ÷ 217
    89875 ÷ 131072     		y = 0.685691833496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435592651367188 × 2 - 1) × π
    -0.128814697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40468331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685691833496094 × 2 - 1) × π
    -0.371383666992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.16673619985255
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40468331} λ = -0.40468331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16673619985255))-π/2
    2×atan(0.311381571809124)-π/2
    2×0.301865620281805-π/2
    0.603731240563611-1.57079632675     		φ = -0.96706509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40468331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.186646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96706509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.408748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57094 KachelY 89875 -0.40468331 -0.96706509 -23.186646 -55.408748
    Oben rechts KachelX + 1 57095 KachelY 89875 -0.40463537 -0.96706509 -23.183899 -55.408748
    Unten links KachelX 57094 KachelY + 1 89876 -0.40468331 -0.96709230 -23.186646 -55.410307
    Unten rechts KachelX + 1 57095 KachelY + 1 89876 -0.40463537 -0.96709230 -23.183899 -55.410307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96706509--0.96709230) × R
    2.72100000000552e-05 × 6371000     		dl = 173.354910000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96706509--0.96709230) × R
    2.72100000000552e-05 × 6371000     		dr = 173.354910000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40468331--0.40463537) × cos(-0.96706509) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.567718058356105 × 6371000     		do = 173.395708084864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40468331--0.40463537) × cos(-0.96709230) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.567695658246486 × 6371000     		du = 173.388866514807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96706509)-sin(-0.96709230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567718058356105-0.567695658246486)×R²
    abs(-0.40463537--0.40468331)×2.24001096196247e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24001096196247e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24001096196247e-05×40589641000000     		ar = 30058.4043614613m²