Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57087 / 88407
↖ ↑ ↗
← S 53.052771°
W 23.205871°		 ← 183.55 m → S 53.052771°
W 23.203125°		 →
↑
183.55 m
↓
↑
183.55 m
↓
S 53.054422°
W 23.205871°		 ← 183.54 m →
33 689 m²		 S 53.054422°
W 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435543060302734 y=0.674495697021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435543060302734 × 217)
    floor (0.435543060302734 × 131072)
    floor (57087.5)     		tx = 57087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674495697021484 × 217)
    floor (0.674495697021484 × 131072)
    floor (88407.5)     		ty = 88407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57087 / 88407 ti = "17/57087/88407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57087/88407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57087 ÷ 217
    57087 ÷ 131072     		x = 0.435539245605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88407 ÷ 217
    88407 ÷ 131072     		y = 0.674491882324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435539245605469 × 2 - 1) × π
    -0.128921508789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.40501886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674491882324219 × 2 - 1) × π
    -0.348983764648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.0963648312103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40501886} λ = -0.40501886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0963648312103))-π/2
    2×atan(0.334083328294463)-π/2
    2×0.322425397920419-π/2
    0.644850795840838-1.57079632675     		φ = -0.92594553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40501886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.205871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92594553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.052771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57087 KachelY 88407 -0.40501886 -0.92594553 -23.205871 -53.052771
    Oben rechts KachelX + 1 57088 KachelY 88407 -0.40497093 -0.92594553 -23.203125 -53.052771
    Unten links KachelX 57087 KachelY + 1 88408 -0.40501886 -0.92597434 -23.205871 -53.054422
    Unten rechts KachelX + 1 57088 KachelY + 1 88408 -0.40497093 -0.92597434 -23.203125 -53.054422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92594553--0.92597434) × R
    2.88099999999902e-05 × 6371000     		dl = 183.548509999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92594553--0.92597434) × R
    2.88099999999902e-05 × 6371000     		dr = 183.548509999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40501886--0.40497093) × cos(-0.92594553) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.60107920357624 × 6371000     		do = 183.546765794724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40501886--0.40497093) × cos(-0.92597434) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.601056178678483 × 6371000     		du = 183.539734865204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92594553)-sin(-0.92597434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60107920357624-0.601056178678483)×R²
    abs(-0.40497093--0.40501886)×2.30248977570735e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30248977570735e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30248977570735e-05×40589641000000     		ar = 33689.0901209442m²