Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57084 / 90892
↖ ↑ ↗
← S 56.962947°
W 23.214112°		 ← 166.51 m → S 56.962947°
W 23.211365°		 →
↑
166.47 m
↓
↑
166.47 m
↓
S 56.964444°
W 23.214112°		 ← 166.51 m →
27 719 m²		 S 56.964444°
W 23.211365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435520172119141 y=0.693454742431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435520172119141 × 217)
    floor (0.435520172119141 × 131072)
    floor (57084.5)     		tx = 57084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693454742431641 × 217)
    floor (0.693454742431641 × 131072)
    floor (90892.5)     		ty = 90892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57084 / 90892 ti = "17/57084/90892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57084/90892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57084 ÷ 217
    57084 ÷ 131072     		x = 0.435516357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90892 ÷ 217
    90892 ÷ 131072     		y = 0.693450927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435516357421875 × 2 - 1) × π
    -0.12896728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40516268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693450927734375 × 2 - 1) × π
    -0.38690185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.21548802676614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40516268} λ = -0.40516268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21548802676614))-π/2
    2×atan(0.29656524719327)-π/2
    2×0.288302673832034-π/2
    0.576605347664068-1.57079632675     		φ = -0.99419098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40516268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.214112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99419098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.962947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57084 KachelY 90892 -0.40516268 -0.99419098 -23.214112 -56.962947
    Oben rechts KachelX + 1 57085 KachelY 90892 -0.40511474 -0.99419098 -23.211365 -56.962947
    Unten links KachelX 57084 KachelY + 1 90893 -0.40516268 -0.99421711 -23.214112 -56.964444
    Unten rechts KachelX + 1 57085 KachelY + 1 90893 -0.40511474 -0.99421711 -23.211365 -56.964444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99419098--0.99421711) × R
    2.61300000000686e-05 × 6371000     		dl = 166.474230000437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99419098--0.99421711) × R
    2.61300000000686e-05 × 6371000     		dr = 166.474230000437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40516268--0.40511474) × cos(-0.99419098) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.545181284009392 × 6371000     		do = 166.512397102802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40516268--0.40511474) × cos(-0.99421711) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.545159378569285 × 6371000     		du = 166.505706617548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99419098)-sin(-0.99421711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545181284009392-0.545159378569285)×R²
    abs(-0.40511474--0.40516268)×2.19054401072727e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19054401072727e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19054401072727e-05×40589641000000     		ar = 27719.4661981113m²