Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57078 / 89876
↖ ↑ ↗
← S 55.410307°
W 23.230591°		 ← 173.39 m → S 55.410307°
W 23.227844°		 →
↑
173.35 m
↓
↑
173.35 m
↓
S 55.411866°
W 23.230591°		 ← 173.38 m →
30 057 m²		 S 55.411866°
W 23.227844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435474395751953 y=0.685703277587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435474395751953 × 217)
    floor (0.435474395751953 × 131072)
    floor (57078.5)     		tx = 57078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685703277587891 × 217)
    floor (0.685703277587891 × 131072)
    floor (89876.5)     		ty = 89876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57078 / 89876 ti = "17/57078/89876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57078/89876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57078 ÷ 217
    57078 ÷ 131072     		x = 0.435470581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89876 ÷ 217
    89876 ÷ 131072     		y = 0.685699462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435470581054688 × 2 - 1) × π
    -0.129058837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40545030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685699462890625 × 2 - 1) × π
    -0.37139892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16678413675217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40545030} λ = -0.40545030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16678413675217))-π/2
    2×atan(0.311366645499736)-π/2
    2×0.301852013228432-π/2
    0.603704026456865-1.57079632675     		φ = -0.96709230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40545030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.230591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96709230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.410307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57078 KachelY 89876 -0.40545030 -0.96709230 -23.230591 -55.410307
    Oben rechts KachelX + 1 57079 KachelY 89876 -0.40540236 -0.96709230 -23.227844 -55.410307
    Unten links KachelX 57078 KachelY + 1 89877 -0.40545030 -0.96711951 -23.230591 -55.411866
    Unten rechts KachelX + 1 57079 KachelY + 1 89877 -0.40540236 -0.96711951 -23.227844 -55.411866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96709230--0.96711951) × R
    2.72099999999442e-05 × 6371000     		dl = 173.354909999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96709230--0.96711951) × R
    2.72099999999442e-05 × 6371000     		dr = 173.354909999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40545030--0.40540236) × cos(-0.96709230) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.567695658246486 × 6371000     		do = 173.388866514606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40545030--0.40540236) × cos(-0.96711951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.567673257716553 × 6371000     		du = 173.382024816175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96709230)-sin(-0.96711951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567695658246486-0.567673257716553)×R²
    abs(-0.40540236--0.40545030)×2.24005299324093e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24005299324093e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24005299324093e-05×40589641000000     		ar = 30057.2183303969m²