Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57077 / 89947
↖ ↑ ↗
← S 55.520857°
W 23.233337°		 ← 172.87 m → S 55.520857°
W 23.230591°		 →
↑
172.91 m
↓
↑
172.91 m
↓
S 55.522412°
W 23.233337°		 ← 172.86 m →
29 890 m²		 S 55.522412°
W 23.230591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435466766357422 y=0.686244964599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435466766357422 × 217)
    floor (0.435466766357422 × 131072)
    floor (57077.5)     		tx = 57077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686244964599609 × 217)
    floor (0.686244964599609 × 131072)
    floor (89947.5)     		ty = 89947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57077 / 89947 ti = "17/57077/89947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57077/89947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57077 ÷ 217
    57077 ÷ 131072     		x = 0.435462951660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89947 ÷ 217
    89947 ÷ 131072     		y = 0.686241149902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435462951660156 × 2 - 1) × π
    -0.129074096679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.40549823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686241149902344 × 2 - 1) × π
    -0.372482299804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.17018765662519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40549823} λ = -0.40549823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17018765662519))-π/2
    2×atan(0.310308704317162)-π/2
    2×0.300887284273749-π/2
    0.601774568547499-1.57079632675     		φ = -0.96902176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40549823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.233337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96902176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.520857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57077 KachelY 89947 -0.40549823 -0.96902176 -23.233337 -55.520857
    Oben rechts KachelX + 1 57078 KachelY 89947 -0.40545030 -0.96902176 -23.230591 -55.520857
    Unten links KachelX 57077 KachelY + 1 89948 -0.40549823 -0.96904890 -23.233337 -55.522412
    Unten rechts KachelX + 1 57078 KachelY + 1 89948 -0.40545030 -0.96904890 -23.230591 -55.522412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96902176--0.96904890) × R
    2.71400000000366e-05 × 6371000     		dl = 172.908940000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96902176--0.96904890) × R
    2.71400000000366e-05 × 6371000     		dr = 172.908940000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40549823--0.40545030) × cos(-0.96902176) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.56610619674921 × 6371000     		do = 172.867337435024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40549823--0.40545030) × cos(-0.96904890) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.566083824161554 × 6371000     		du = 172.860505696241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96902176)-sin(-0.96904890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56610619674921-0.566083824161554)×R²
    abs(-0.40545030--0.40549823)×2.23725876565828e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.23725876565828e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.23725876565828e-05×40589641000000     		ar = 29889.7174439687m²