Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57076 / 89879
↖ ↑ ↗
← S 55.414985°
W 23.236084°		 ← 173.37 m → S 55.414985°
W 23.233337°		 →
↑
173.35 m
↓
↑
173.35 m
↓
S 55.416544°
W 23.236084°		 ← 173.36 m →
30 054 m²		 S 55.416544°
W 23.233337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435459136962891 y=0.685726165771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435459136962891 × 217)
    floor (0.435459136962891 × 131072)
    floor (57076.5)     		tx = 57076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685726165771484 × 217)
    floor (0.685726165771484 × 131072)
    floor (89879.5)     		ty = 89879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57076 / 89879 ti = "17/57076/89879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57076/89879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57076 ÷ 217
    57076 ÷ 131072     		x = 0.435455322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89879 ÷ 217
    89879 ÷ 131072     		y = 0.685722351074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435455322265625 × 2 - 1) × π
    -0.12908935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40554617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685722351074219 × 2 - 1) × π
    -0.371444702148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.16692794745103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40554617} λ = -0.40554617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16692794745103))-π/2
    2×atan(0.311321870864458)-π/2
    2×0.301811195290097-π/2
    0.603622390580195-1.57079632675     		φ = -0.96717394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40554617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.236084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96717394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.414985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57076 KachelY 89879 -0.40554617 -0.96717394 -23.236084 -55.414985
    Oben rechts KachelX + 1 57077 KachelY 89879 -0.40549823 -0.96717394 -23.233337 -55.414985
    Unten links KachelX 57076 KachelY + 1 89880 -0.40554617 -0.96720115 -23.236084 -55.416544
    Unten rechts KachelX + 1 57077 KachelY + 1 89880 -0.40549823 -0.96720115 -23.233337 -55.416544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96717394--0.96720115) × R
    2.72099999999442e-05 × 6371000     		dl = 173.354909999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96717394--0.96720115) × R
    2.72099999999442e-05 × 6371000     		dr = 173.354909999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40554617--0.40549823) × cos(-0.96717394) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.567628447162968 × 6371000     		do = 173.368338519687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40554617--0.40549823) × cos(-0.96720115) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.567606045372042 × 6371000     		du = 173.361496436116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96717394)-sin(-0.96720115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567628447162968-0.567606045372042)×R²
    abs(-0.40549823--0.40554617)×2.24017909258301e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24017909258301e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24017909258301e-05×40589641000000     		ar = 30053.6596682727m²