Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57074 / 89873
↖ ↑ ↗
← S 55.405629°
W 23.241577°		 ← 173.37 m → S 55.405629°
W 23.238831°		 →
↑
173.42 m
↓
↑
173.42 m
↓
S 55.407189°
W 23.241577°		 ← 173.37 m →
30 066 m²		 S 55.407189°
W 23.238831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435443878173828 y=0.685680389404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435443878173828 × 217)
    floor (0.435443878173828 × 131072)
    floor (57074.5)     		tx = 57074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685680389404297 × 217)
    floor (0.685680389404297 × 131072)
    floor (89873.5)     		ty = 89873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57074 / 89873 ti = "17/57074/89873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57074/89873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57074 ÷ 217
    57074 ÷ 131072     		x = 0.435440063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89873 ÷ 217
    89873 ÷ 131072     		y = 0.685676574707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435440063476562 × 2 - 1) × π
    -0.129119873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40564204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685676574707031 × 2 - 1) × π
    -0.371353149414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.16664032605331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40564204} λ = -0.40564204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16664032605331))-π/2
    2×atan(0.311411426574549)-π/2
    2×0.30189283599951-π/2
    0.60378567199902-1.57079632675     		φ = -0.96701065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40564204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.241577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96701065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.405629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57074 KachelY 89873 -0.40564204 -0.96701065 -23.241577 -55.405629
    Oben rechts KachelX + 1 57075 KachelY 89873 -0.40559411 -0.96701065 -23.238831 -55.405629
    Unten links KachelX 57074 KachelY + 1 89874 -0.40564204 -0.96703787 -23.241577 -55.407189
    Unten rechts KachelX + 1 57075 KachelY + 1 89874 -0.40559411 -0.96703787 -23.238831 -55.407189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96701065--0.96703787) × R
    2.72199999999945e-05 × 6371000     		dl = 173.418619999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96701065--0.96703787) × R
    2.72199999999945e-05 × 6371000     		dr = 173.418619999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40564204--0.40559411) × cos(-0.96701065) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.567762873778183 × 6371000     		do = 173.373223695445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40564204--0.40559411) × cos(-0.96703787) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.567740466277472 × 6371000     		du = 173.366381295541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96701065)-sin(-0.96703787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567762873778183-0.567740466277472)×R²
    abs(-0.40559411--0.40564204)×2.24075007112523e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.24075007112523e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.24075007112523e-05×40589641000000     		ar = 30065.5519003127m²