Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57068 / 89940
↖ ↑ ↗
← S 55.509971°
W 23.258057°		 ← 172.95 m → S 55.509971°
W 23.255310°		 →
↑
172.91 m
↓
↑
172.91 m
↓
S 55.511526°
W 23.258057°		 ← 172.94 m →
29 904 m²		 S 55.511526°
W 23.255310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435398101806641 y=0.686191558837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435398101806641 × 217)
    floor (0.435398101806641 × 131072)
    floor (57068.5)     		tx = 57068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686191558837891 × 217)
    floor (0.686191558837891 × 131072)
    floor (89940.5)     		ty = 89940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57068 / 89940 ti = "17/57068/89940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57068/89940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57068 ÷ 217
    57068 ÷ 131072     		x = 0.435394287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89940 ÷ 217
    89940 ÷ 131072     		y = 0.686187744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435394287109375 × 2 - 1) × π
    -0.12921142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40592967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686187744140625 × 2 - 1) × π
    -0.37237548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16985209832785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40592967} λ = -0.40592967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16985209832785))-π/2
    2×atan(0.310412848449869)-π/2
    2×0.300982278226774-π/2
    0.601964556453549-1.57079632675     		φ = -0.96883177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40592967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.258057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96883177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.509971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57068 KachelY 89940 -0.40592967 -0.96883177 -23.258057 -55.509971
    Oben rechts KachelX + 1 57069 KachelY 89940 -0.40588173 -0.96883177 -23.255310 -55.509971
    Unten links KachelX 57068 KachelY + 1 89941 -0.40592967 -0.96885891 -23.258057 -55.511526
    Unten rechts KachelX + 1 57069 KachelY + 1 89941 -0.40588173 -0.96885891 -23.255310 -55.511526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96883177--0.96885891) × R
    2.71400000000366e-05 × 6371000     		dl = 172.908940000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96883177--0.96885891) × R
    2.71400000000366e-05 × 6371000     		dr = 172.908940000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40592967--0.40588173) × cos(-0.96883177) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.566262801428627 × 6371000     		do = 172.951235160898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40592967--0.40588173) × cos(-0.96885891) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.566240431760346 × 6371000     		du = 172.94440288841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96883177)-sin(-0.96885891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566262801428627-0.566240431760346)×R²
    abs(-0.40588173--0.40592967)×2.23696682809527e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23696682809527e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23696682809527e-05×40589641000000     		ar = 29904.2240647933m²