Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57062 / 89992
↖ ↑ ↗
← S 55.590763°
W 23.274536°		 ← 172.60 m → S 55.590763°
W 23.271790°		 →
↑
172.59 m
↓
↑
172.59 m
↓
S 55.592315°
W 23.274536°		 ← 172.59 m →
29 788 m²		 S 55.592315°
W 23.271790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435352325439453 y=0.686588287353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435352325439453 × 217)
    floor (0.435352325439453 × 131072)
    floor (57062.5)     		tx = 57062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686588287353516 × 217)
    floor (0.686588287353516 × 131072)
    floor (89992.5)     		ty = 89992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57062 / 89992 ti = "17/57062/89992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57062/89992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57062 ÷ 217
    57062 ÷ 131072     		x = 0.435348510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89992 ÷ 217
    89992 ÷ 131072     		y = 0.68658447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435348510742188 × 2 - 1) × π
    -0.129302978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40621729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68658447265625 × 2 - 1) × π
    -0.3731689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17234481710809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40621729} λ = -0.40621729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17234481710809))-π/2
    2×atan(0.309640040110004)-π/2
    2×0.300277236025238-π/2
    0.600554472050477-1.57079632675     		φ = -0.97024185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40621729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.274536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97024185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.590763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57062 KachelY 89992 -0.40621729 -0.97024185 -23.274536 -55.590763
    Oben rechts KachelX + 1 57063 KachelY 89992 -0.40616935 -0.97024185 -23.271790 -55.590763
    Unten links KachelX 57062 KachelY + 1 89993 -0.40621729 -0.97026894 -23.274536 -55.592315
    Unten rechts KachelX + 1 57063 KachelY + 1 89993 -0.40616935 -0.97026894 -23.271790 -55.592315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97024185--0.97026894) × R
    2.70900000000074e-05 × 6371000     		dl = 172.590390000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97024185--0.97026894) × R
    2.70900000000074e-05 × 6371000     		dr = 172.590390000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40621729--0.40616935) × cos(-0.97024185) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565100016019942 × 6371000     		do = 172.596090566989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40621729--0.40616935) × cos(-0.97026894) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565077665955587 × 6371000     		du = 172.589264282045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97024185)-sin(-0.97026894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565100016019942-0.565077665955587)×R²
    abs(-0.40616935--0.40621729)×2.23500643548036e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23500643548036e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23500643548036e-05×40589641000000     		ar = 29787.8375095985m²