Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57062 / 89942
↖ ↑ ↗
← S 55.513082°
W 23.274536°		 ← 172.94 m → S 55.513082°
W 23.271790°		 →
↑
172.91 m
↓
↑
172.91 m
↓
S 55.514637°
W 23.274536°		 ← 172.93 m →
29 902 m²		 S 55.514637°
W 23.271790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435352325439453 y=0.686206817626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435352325439453 × 217)
    floor (0.435352325439453 × 131072)
    floor (57062.5)     		tx = 57062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686206817626953 × 217)
    floor (0.686206817626953 × 131072)
    floor (89942.5)     		ty = 89942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57062 / 89942 ti = "17/57062/89942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57062/89942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57062 ÷ 217
    57062 ÷ 131072     		x = 0.435348510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89942 ÷ 217
    89942 ÷ 131072     		y = 0.686203002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435348510742188 × 2 - 1) × π
    -0.129302978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40621729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686203002929688 × 2 - 1) × π
    -0.372406005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16994797212709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40621729} λ = -0.40621729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16994797212709))-π/2
    2×atan(0.310383089417334)-π/2
    2×0.300955134416218-π/2
    0.601910268832436-1.57079632675     		φ = -0.96888606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40621729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.274536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96888606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.513082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57062 KachelY 89942 -0.40621729 -0.96888606 -23.274536 -55.513082
    Oben rechts KachelX + 1 57063 KachelY 89942 -0.40616935 -0.96888606 -23.271790 -55.513082
    Unten links KachelX 57062 KachelY + 1 89943 -0.40621729 -0.96891320 -23.274536 -55.514637
    Unten rechts KachelX + 1 57063 KachelY + 1 89943 -0.40616935 -0.96891320 -23.271790 -55.514637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96888606--0.96891320) × R
    2.71400000000366e-05 × 6371000     		dl = 172.908940000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96888606--0.96891320) × R
    2.71400000000366e-05 × 6371000     		dr = 172.908940000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40621729--0.40616935) × cos(-0.96888606) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.566218053432429 × 6371000     		do = 172.937567971046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40621729--0.40616935) × cos(-0.96891320) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.566195682929849 × 6371000     		du = 172.930735443741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96888606)-sin(-0.96891320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566218053432429-0.566195682929849)×R²
    abs(-0.40616935--0.40621729)×2.2370502580471e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2370502580471e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2370502580471e-05×40589641000000     		ar = 29901.8608633964m²