Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57056 / 89962
↖ ↑ ↗
← S 55.544173°
W 23.291016°		 ← 172.80 m → S 55.544173°
W 23.288269°		 →
↑
172.78 m
↓
↑
172.78 m
↓
S 55.545727°
W 23.291016°		 ← 172.79 m →
29 856 m²		 S 55.545727°
W 23.288269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435306549072266 y=0.686359405517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435306549072266 × 217)
    floor (0.435306549072266 × 131072)
    floor (57056.5)     		tx = 57056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686359405517578 × 217)
    floor (0.686359405517578 × 131072)
    floor (89962.5)     		ty = 89962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57056 / 89962 ti = "17/57056/89962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57056/89962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57056 ÷ 217
    57056 ÷ 131072     		x = 0.435302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89962 ÷ 217
    89962 ÷ 131072     		y = 0.686355590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.12939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40650491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686355590820312 × 2 - 1) × π
    -0.372711181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17090671011949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40650491} λ = -0.40650491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17090671011949))-π/2
    2×atan(0.310085655960471)-π/2
    2×0.300683814267654-π/2
    0.601367628535308-1.57079632675     		φ = -0.96942870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40650491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.291016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96942870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.544173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57056 KachelY 89962 -0.40650491 -0.96942870 -23.291016 -55.544173
    Oben rechts KachelX + 1 57057 KachelY 89962 -0.40645697 -0.96942870 -23.288269 -55.544173
    Unten links KachelX 57056 KachelY + 1 89963 -0.40650491 -0.96945582 -23.291016 -55.545727
    Unten rechts KachelX + 1 57057 KachelY + 1 89963 -0.40645697 -0.96945582 -23.288269 -55.545727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96942870--0.96945582) × R
    2.71199999999361e-05 × 6371000     		dl = 172.781519999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96942870--0.96945582) × R
    2.71199999999361e-05 × 6371000     		dr = 172.781519999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40650491--0.40645697) × cos(-0.96942870) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565770696090478 × 6371000     		do = 172.800933523836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40650491--0.40645697) × cos(-0.96945582) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565748333744082 × 6371000     		du = 172.79410348764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96942870)-sin(-0.96945582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565770696090478-0.565748333744082)×R²
    abs(-0.40645697--0.40650491)×2.23623463967426e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23623463967426e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23623463967426e-05×40589641000000     		ar = 29856.2179015669m²