Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57053 / 89939
↖ ↑ ↗
← S 55.508416°
W 23.299255°		 ← 172.96 m → S 55.508416°
W 23.296509°		 →
↑
172.97 m
↓
↑
172.97 m
↓
S 55.509971°
W 23.299255°		 ← 172.95 m →
29 916 m²		 S 55.509971°
W 23.296509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435283660888672 y=0.686183929443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435283660888672 × 217)
    floor (0.435283660888672 × 131072)
    floor (57053.5)     		tx = 57053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686183929443359 × 217)
    floor (0.686183929443359 × 131072)
    floor (89939.5)     		ty = 89939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57053 / 89939 ti = "17/57053/89939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57053/89939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57053 ÷ 217
    57053 ÷ 131072     		x = 0.435279846191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89939 ÷ 217
    89939 ÷ 131072     		y = 0.686180114746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435279846191406 × 2 - 1) × π
    -0.129440307617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.40664872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686180114746094 × 2 - 1) × π
    -0.372360229492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.16980416142823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40664872} λ = -0.40664872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16980416142823))-π/2
    2×atan(0.310427729036088)-π/2
    2×0.300995850936434-π/2
    0.601991701872868-1.57079632675     		φ = -0.96880462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40664872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.299255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96880462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.508416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57053 KachelY 89939 -0.40664872 -0.96880462 -23.299255 -55.508416
    Oben rechts KachelX + 1 57054 KachelY 89939 -0.40660078 -0.96880462 -23.296509 -55.508416
    Unten links KachelX 57053 KachelY + 1 89940 -0.40664872 -0.96883177 -23.299255 -55.509971
    Unten rechts KachelX + 1 57054 KachelY + 1 89940 -0.40660078 -0.96883177 -23.296509 -55.509971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96880462--0.96883177) × R
    2.71499999999758e-05 × 6371000     		dl = 172.972649999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96880462--0.96883177) × R
    2.71499999999758e-05 × 6371000     		dr = 172.972649999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40664872--0.40660078) × cos(-0.96880462) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.566285178921904 × 6371000     		do = 172.958069823342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40664872--0.40660078) × cos(-0.96883177) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.566262801428627 × 6371000     		du = 172.951235160898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96880462)-sin(-0.96883177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566285178921904-0.566262801428627)×R²
    abs(-0.40660078--0.40664872)×2.23774932770482e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23774932770482e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23774932770482e-05×40589641000000     		ar = 29916.4245731062m²