Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57046 / 89930
↖ ↑ ↗
← S 55.494416°
W 23.318482°		 ← 173.02 m → S 55.494416°
W 23.315735°		 →
↑
172.97 m
↓
↑
172.97 m
↓
S 55.495971°
W 23.318482°		 ← 173.01 m →
29 927 m²		 S 55.495971°
W 23.315735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435230255126953 y=0.686115264892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435230255126953 × 217)
    floor (0.435230255126953 × 131072)
    floor (57046.5)     		tx = 57046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686115264892578 × 217)
    floor (0.686115264892578 × 131072)
    floor (89930.5)     		ty = 89930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57046 / 89930 ti = "17/57046/89930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57046/89930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57046 ÷ 217
    57046 ÷ 131072     		x = 0.435226440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89930 ÷ 217
    89930 ÷ 131072     		y = 0.686111450195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435226440429688 × 2 - 1) × π
    -0.129547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40698428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686111450195312 × 2 - 1) × π
    -0.372222900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.16937272933165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40698428} λ = -0.40698428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16937272933165))-π/2
    2×atan(0.310561686416741)-π/2
    2×0.301118029456811-π/2
    0.602236058913623-1.57079632675     		φ = -0.96856027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40698428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.318482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96856027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.494416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57046 KachelY 89930 -0.40698428 -0.96856027 -23.318482 -55.494416
    Oben rechts KachelX + 1 57047 KachelY 89930 -0.40693634 -0.96856027 -23.315735 -55.494416
    Unten links KachelX 57046 KachelY + 1 89931 -0.40698428 -0.96858742 -23.318482 -55.495971
    Unten rechts KachelX + 1 57047 KachelY + 1 89931 -0.40693634 -0.96858742 -23.315735 -55.495971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96856027--0.96858742) × R
    2.71499999999758e-05 × 6371000     		dl = 172.972649999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96856027--0.96858742) × R
    2.71499999999758e-05 × 6371000     		dr = 172.972649999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40698428--0.40693634) × cos(-0.96856027) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.566486557575449 × 6371000     		do = 173.019576047421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40698428--0.40693634) × cos(-0.96858742) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.56646418383956 × 6371000     		du = 173.01274253258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96856027)-sin(-0.96858742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566486557575449-0.56646418383956)×R²
    abs(-0.40693634--0.40698428)×2.23737358893139e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23737358893139e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23737358893139e-05×40589641000000     		ar = 29927.0635669622m²