Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57045 / 89925
↖ ↑ ↗
← S 55.486635°
W 23.321228°		 ← 173.02 m → S 55.486635°
W 23.318482°		 →
↑
173.04 m
↓
↑
173.04 m
↓
S 55.488192°
W 23.321228°		 ← 173.01 m →
29 938 m²		 S 55.488192°
W 23.318482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435222625732422 y=0.686077117919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435222625732422 × 217)
    floor (0.435222625732422 × 131072)
    floor (57045.5)     		tx = 57045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686077117919922 × 217)
    floor (0.686077117919922 × 131072)
    floor (89925.5)     		ty = 89925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57045 / 89925 ti = "17/57045/89925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57045/89925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57045 ÷ 217
    57045 ÷ 131072     		x = 0.435218811035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89925 ÷ 217
    89925 ÷ 131072     		y = 0.686073303222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435218811035156 × 2 - 1) × π
    -0.129562377929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.40703221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686073303222656 × 2 - 1) × π
    -0.372146606445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.16913304483355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40703221} λ = -0.40703221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16913304483355))-π/2
    2×atan(0.310636132160068)-π/2
    2×0.301185925184989-π/2
    0.602371850369979-1.57079632675     		φ = -0.96842448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40703221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.321228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96842448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.486635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57045 KachelY 89925 -0.40703221 -0.96842448 -23.321228 -55.486635
    Oben rechts KachelX + 1 57046 KachelY 89925 -0.40698428 -0.96842448 -23.318482 -55.486635
    Unten links KachelX 57045 KachelY + 1 89926 -0.40703221 -0.96845164 -23.321228 -55.488192
    Unten rechts KachelX + 1 57046 KachelY + 1 89926 -0.40698428 -0.96845164 -23.318482 -55.488192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96842448--0.96845164) × R
    2.7159999999915e-05 × 6371000     		dl = 173.036359999459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96842448--0.96845164) × R
    2.7159999999915e-05 × 6371000     		dr = 173.036359999459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40703221--0.40698428) × cos(-0.96842448) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.566598452950779 × 6371000     		do = 173.017653788015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40703221--0.40698428) × cos(-0.96845164) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.566576073063425 × 6371000     		du = 173.010819820182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96842448)-sin(-0.96845164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566598452950779-0.566576073063425)×R²
    abs(-0.40698428--0.40703221)×2.23798873534298e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.23798873534298e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.23798873534298e-05×40589641000000     		ar = 29937.7537665982m²