Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57040 / 89917
↖ ↑ ↗
← S 55.474183°
W 23.334961°		 ← 173.11 m → S 55.474183°
W 23.332214°		 →
↑
173.10 m
↓
↑
173.10 m
↓
S 55.475740°
W 23.334961°		 ← 173.10 m →
29 964 m²		 S 55.475740°
W 23.332214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435184478759766 y=0.686016082763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435184478759766 × 217)
    floor (0.435184478759766 × 131072)
    floor (57040.5)     		tx = 57040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686016082763672 × 217)
    floor (0.686016082763672 × 131072)
    floor (89917.5)     		ty = 89917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57040 / 89917 ti = "17/57040/89917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57040/89917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57040 ÷ 217
    57040 ÷ 131072     		x = 0.4351806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89917 ÷ 217
    89917 ÷ 131072     		y = 0.686012268066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4351806640625 × 2 - 1) × π
    -0.129638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40727190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686012268066406 × 2 - 1) × π
    -0.372024536132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.16874954963659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40727190} λ = -0.40727190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16874954963659))-π/2
    2×atan(0.31075528247008)-π/2
    2×0.301294586244777-π/2
    0.602589172489553-1.57079632675     		φ = -0.96820715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40727190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.334961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96820715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.474183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57040 KachelY 89917 -0.40727190 -0.96820715 -23.334961 -55.474183
    Oben rechts KachelX + 1 57041 KachelY 89917 -0.40722396 -0.96820715 -23.332214 -55.474183
    Unten links KachelX 57040 KachelY + 1 89918 -0.40727190 -0.96823432 -23.334961 -55.475740
    Unten rechts KachelX + 1 57041 KachelY + 1 89918 -0.40722396 -0.96823432 -23.332214 -55.475740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96820715--0.96823432) × R
    2.71699999999653e-05 × 6371000     		dl = 173.100069999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96820715--0.96823432) × R
    2.71699999999653e-05 × 6371000     		dr = 173.100069999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40727190--0.40722396) × cos(-0.96820715) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.566777518195199 × 6371000     		do = 173.108442910219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40727190--0.40722396) × cos(-0.96823432) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.566755133413896 × 6371000     		du = 173.101606021825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96820715)-sin(-0.96823432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566777518195199-0.566755133413896)×R²
    abs(-0.40722396--0.40727190)×2.23847813030087e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23847813030087e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23847813030087e-05×40589641000000     		ar = 29964.4918542713m²