Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57039 / 89941
↖ ↑ ↗
← S 55.511526°
W 23.337708°		 ← 172.94 m → S 55.511526°
W 23.334961°		 →
↑
172.97 m
↓
↑
172.97 m
↓
S 55.513082°
W 23.337708°		 ← 172.94 m →
29 914 m²		 S 55.513082°
W 23.334961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435176849365234 y=0.686199188232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435176849365234 × 217)
    floor (0.435176849365234 × 131072)
    floor (57039.5)     		tx = 57039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686199188232422 × 217)
    floor (0.686199188232422 × 131072)
    floor (89941.5)     		ty = 89941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57039 / 89941 ti = "17/57039/89941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57039/89941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57039 ÷ 217
    57039 ÷ 131072     		x = 0.435173034667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89941 ÷ 217
    89941 ÷ 131072     		y = 0.686195373535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435173034667969 × 2 - 1) × π
    -0.129653930664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.40731984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686195373535156 × 2 - 1) × π
    -0.372390747070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.16990003522747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40731984} λ = -0.40731984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16990003522747))-π/2
    2×atan(0.310397968576963)-π/2
    2×0.300968706053373-π/2
    0.601937412106746-1.57079632675     		φ = -0.96885891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40731984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.337708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96885891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.511526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57039 KachelY 89941 -0.40731984 -0.96885891 -23.337708 -55.511526
    Oben rechts KachelX + 1 57040 KachelY 89941 -0.40727190 -0.96885891 -23.334961 -55.511526
    Unten links KachelX 57039 KachelY + 1 89942 -0.40731984 -0.96888606 -23.337708 -55.513082
    Unten rechts KachelX + 1 57040 KachelY + 1 89942 -0.40727190 -0.96888606 -23.334961 -55.513082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96885891--0.96888606) × R
    2.71499999999758e-05 × 6371000     		dl = 172.972649999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96885891--0.96888606) × R
    2.71499999999758e-05 × 6371000     		dr = 172.972649999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40731984--0.40727190) × cos(-0.96885891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.566240431760346 × 6371000     		do = 172.94440288821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40731984--0.40727190) × cos(-0.96888606) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.566218053432429 × 6371000     		du = 172.937567970846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96885891)-sin(-0.96888606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566240431760346-0.566218053432429)×R²
    abs(-0.40727190--0.40731984)×2.23783279168499e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23783279168499e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23783279168499e-05×40589641000000     		ar = 29914.0605451259m²