Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57038 / 90002
↖ ↑ ↗
← S 55.606281°
W 23.340454°		 ← 172.49 m → S 55.606281°
W 23.337708°		 →
↑
172.53 m
↓
↑
172.53 m
↓
S 55.607833°
W 23.340454°		 ← 172.49 m →
29 759 m²		 S 55.607833°
W 23.337708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435169219970703 y=0.686664581298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435169219970703 × 217)
    floor (0.435169219970703 × 131072)
    floor (57038.5)     		tx = 57038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686664581298828 × 217)
    floor (0.686664581298828 × 131072)
    floor (90002.5)     		ty = 90002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57038 / 90002 ti = "17/57038/90002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57038/90002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57038 ÷ 217
    57038 ÷ 131072     		x = 0.435165405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90002 ÷ 217
    90002 ÷ 131072     		y = 0.686660766601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435165405273438 × 2 - 1) × π
    -0.129669189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40736777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686660766601562 × 2 - 1) × π
    -0.373321533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17282418610429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40736777} λ = -0.40736777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17282418610429))-π/2
    2×atan(0.309491643845918)-π/2
    2×0.300141817094309-π/2
    0.600283634188618-1.57079632675     		φ = -0.97051269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40736777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.340454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97051269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.606281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57038 KachelY 90002 -0.40736777 -0.97051269 -23.340454 -55.606281
    Oben rechts KachelX + 1 57039 KachelY 90002 -0.40731984 -0.97051269 -23.337708 -55.606281
    Unten links KachelX 57038 KachelY + 1 90003 -0.40736777 -0.97053977 -23.340454 -55.607833
    Unten rechts KachelX + 1 57039 KachelY + 1 90003 -0.40731984 -0.97053977 -23.337708 -55.607833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97051269--0.97053977) × R
    2.70800000000682e-05 × 6371000     		dl = 172.526680000434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97051269--0.97053977) × R
    2.70800000000682e-05 × 6371000     		dr = 172.526680000434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40736777--0.40731984) × cos(-0.97051269) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.564876546227728 × 6371000     		do = 172.491848855593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40736777--0.40731984) × cos(-0.97053977) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.564854200270012 × 6371000     		du = 172.485025248583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97051269)-sin(-0.97053977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564876546227728-0.564854200270012)×R²
    abs(-0.40731984--0.40736777)×2.23459577159968e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.23459577159968e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.23459577159968e-05×40589641000000     		ar = 29758.8573848575m²