Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57036 / 89936
↖ ↑ ↗
← S 55.503750°
W 23.345947°		 ← 172.98 m → S 55.503750°
W 23.343201°		 →
↑
172.97 m
↓
↑
172.97 m
↓
S 55.505305°
W 23.345947°		 ← 172.97 m →
29 920 m²		 S 55.505305°
W 23.343201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435153961181641 y=0.686161041259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435153961181641 × 217)
    floor (0.435153961181641 × 131072)
    floor (57036.5)     		tx = 57036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686161041259766 × 217)
    floor (0.686161041259766 × 131072)
    floor (89936.5)     		ty = 89936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57036 / 89936 ti = "17/57036/89936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57036/89936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57036 ÷ 217
    57036 ÷ 131072     		x = 0.435150146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89936 ÷ 217
    89936 ÷ 131072     		y = 0.6861572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435150146484375 × 2 - 1) × π
    -0.12969970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40746365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6861572265625 × 2 - 1) × π
    -0.372314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16966035072937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40746365} λ = -0.40746365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16966035072937))-π/2
    2×atan(0.310472375074958)-π/2
    2×0.30103657228307-π/2
    0.60207314456614-1.57079632675     		φ = -0.96872318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40746365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.345947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96872318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.503750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57036 KachelY 89936 -0.40746365 -0.96872318 -23.345947 -55.503750
    Oben rechts KachelX + 1 57037 KachelY 89936 -0.40741571 -0.96872318 -23.343201 -55.503750
    Unten links KachelX 57036 KachelY + 1 89937 -0.40746365 -0.96875033 -23.345947 -55.505305
    Unten rechts KachelX + 1 57037 KachelY + 1 89937 -0.40741571 -0.96875033 -23.343201 -55.505305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96872318--0.96875033) × R
    2.71499999999758e-05 × 6371000     		dl = 172.972649999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96872318--0.96875033) × R
    2.71499999999758e-05 × 6371000     		dr = 172.972649999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40746365--0.40741571) × cos(-0.96872318) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.566352300655508 × 6371000     		do = 172.978570528498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40746365--0.40741571) × cos(-0.96875033) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.566329924414391 × 6371000     		du = 172.971736248496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96872318)-sin(-0.96875033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566352300655508-0.566329924414391)×R²
    abs(-0.40741571--0.40746365)×2.23762411166728e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23762411166728e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23762411166728e-05×40589641000000     		ar = 29919.9706676291m²