Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57034 / 89950
↖ ↑ ↗
← S 55.525522°
W 23.351440°		 ← 172.88 m → S 55.525522°
W 23.348694°		 →
↑
172.85 m
↓
↑
172.85 m
↓
S 55.527076°
W 23.351440°		 ← 172.88 m →
29 881 m²		 S 55.527076°
W 23.348694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435138702392578 y=0.686267852783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435138702392578 × 217)
    floor (0.435138702392578 × 131072)
    floor (57034.5)     		tx = 57034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686267852783203 × 217)
    floor (0.686267852783203 × 131072)
    floor (89950.5)     		ty = 89950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57034 / 89950 ti = "17/57034/89950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57034/89950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57034 ÷ 217
    57034 ÷ 131072     		x = 0.435134887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89950 ÷ 217
    89950 ÷ 131072     		y = 0.686264038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435134887695312 × 2 - 1) × π
    -0.129730224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40755952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686264038085938 × 2 - 1) × π
    -0.372528076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17033146732405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40755952} λ = -0.40755952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17033146732405))-π/2
    2×atan(0.310264081814205)-π/2
    2×0.300846580622511-π/2
    0.601693161245021-1.57079632675     		φ = -0.96910317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40755952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.351440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96910317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.525522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57034 KachelY 89950 -0.40755952 -0.96910317 -23.351440 -55.525522
    Oben rechts KachelX + 1 57035 KachelY 89950 -0.40751158 -0.96910317 -23.348694 -55.525522
    Unten links KachelX 57034 KachelY + 1 89951 -0.40755952 -0.96913030 -23.351440 -55.527076
    Unten rechts KachelX + 1 57035 KachelY + 1 89951 -0.40751158 -0.96913030 -23.348694 -55.527076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96910317--0.96913030) × R
    2.71299999999863e-05 × 6371000     		dl = 172.845229999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96910317--0.96913030) × R
    2.71299999999863e-05 × 6371000     		dr = 172.845229999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40755952--0.40751158) × cos(-0.96910317) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.566039085979144 × 6371000     		do = 172.88290670419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40755952--0.40751158) × cos(-0.96913030) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.56601672038473 × 6371000     		du = 172.876075675966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96910317)-sin(-0.96913030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566039085979144-0.56601672038473)×R²
    abs(-0.40751158--0.40755952)×2.2365594413265e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2365594413265e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2365594413265e-05×40589641000000     		ar = 29881.3954187644m²