Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57034 / 89906
↖ ↑ ↗
← S 55.457056°
W 23.351440°		 ← 173.18 m → S 55.457056°
W 23.348694°		 →
↑
173.23 m
↓
↑
173.23 m
↓
S 55.458614°
W 23.351440°		 ← 173.18 m →
30 000 m²		 S 55.458614°
W 23.348694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435138702392578 y=0.685932159423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435138702392578 × 217)
    floor (0.435138702392578 × 131072)
    floor (57034.5)     		tx = 57034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685932159423828 × 217)
    floor (0.685932159423828 × 131072)
    floor (89906.5)     		ty = 89906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57034 / 89906 ti = "17/57034/89906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57034/89906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57034 ÷ 217
    57034 ÷ 131072     		x = 0.435134887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89906 ÷ 217
    89906 ÷ 131072     		y = 0.685928344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435134887695312 × 2 - 1) × π
    -0.129730224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40755952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685928344726562 × 2 - 1) × π
    -0.371856689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16822224374077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40755952} λ = -0.40755952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16822224374077))-π/2
    2×atan(0.310919188773266)-π/2
    2×0.30144405126894-π/2
    0.60288810253788-1.57079632675     		φ = -0.96790822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40755952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.351440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96790822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.457056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57034 KachelY 89906 -0.40755952 -0.96790822 -23.351440 -55.457056
    Oben rechts KachelX + 1 57035 KachelY 89906 -0.40751158 -0.96790822 -23.348694 -55.457056
    Unten links KachelX 57034 KachelY + 1 89907 -0.40755952 -0.96793541 -23.351440 -55.458614
    Unten rechts KachelX + 1 57035 KachelY + 1 89907 -0.40751158 -0.96793541 -23.348694 -55.458614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96790822--0.96793541) × R
    2.71900000000658e-05 × 6371000     		dl = 173.227490000419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96790822--0.96793541) × R
    2.71900000000658e-05 × 6371000     		dr = 173.227490000419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40755952--0.40751158) × cos(-0.96790822) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.56702377259357 × 6371000     		do = 173.18365534207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40755952--0.40751158) × cos(-0.96793541) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.567001375942166 × 6371000     		du = 173.176814828241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96790822)-sin(-0.96793541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56702377259357-0.567001375942166)×R²
    abs(-0.40751158--0.40755952)×2.2396651404466e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2396651404466e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2396651404466e-05×40589641000000     		ar = 29999.5774433519m²